1.2.2 Графическое решение матричной игры 2х2.

Поставленную выше задачу можно решить и графически на плоскости p0ν, где оптимальные значения (p^*, ν) являются координатами точки пересечения двух прямых.

Алгоритм графического решения игры (2х2):

1) на оси абсцисс Op откладываем отрезок единичной длины;

2) на оси ординат (р=0) откладываем выигрыши при стратегии А₁, а на вертикальной линии (р=1) выигрыши при стратегии А₂;

3) строим стратегии B₁, B₂, проходящие через точки:

(0,a₁₁) и (1,а₂₁), а также (0,a₁₂) и (1,а₂₂);

4) находим точку N пересечения прямых, которая и будет решением матричной игры. Ордината точки N цена игры – ν, а абсцисса – p^*₂

Графическое решение матричной игры в постановке приведенной выше задачи представлено на рис.1

Рис.1

1.2.3 Матричные игры 2xn.

Рассмотрим матричную игру размерности (2´n) с платежной матрицей

Положим, что решение этой матричной игры в чистых стратегиях отсутствует, седловой точки – нет. Пусть смешанные стратегии игроков заданы

,

Тогда, следуя теореме, решение игры находится из первого уравнения (1.4):

где j=1,…,n.

Для определения максимума по p функции

,

построим ее график состоящий из n прямых вида

,

на плоскости p0ν по следующему алгоритму:

1) на оси абсцисс Op откладываем отрезок единичной длины;

2) на оси ординат (р=0) откладываем выигрыши при стратегии А₁ (a_1j), а на вертикальной линии (р=1) выигрыши при стратегии А₂ (a_2j) ;

3) строим линии стратегий B₁, B₂,…, B_n проходящие через точки:

(0,a_1j) и (1,а_2j), при j=1,…,n ;

4) затем строим полигональную линию огибающую пучок этих линий снизу;

5) на огибающей находим вершину с максимальной ординатой;

6) абсцисса этой вершины есть вероятность p₂^* выбора оптимальной смешанной стратегии А₂ , тогда для стратегии А₁ имеем p₁^*=1- p₂^*, а

ордината этой вершины определяет цену игры _-ν^*.

Задача

Дана конечная матричная игра с платежной матрицей вида:

.

Определить оптимальные стратегии игроков и цену игры.

Решение.

1) Упростим платежную матрицу, проведя процедуру доминирования – стратегия B₄ доминирует B₃, следовательно, B₃ выводится из матрицы.

2) Решение в чистых стратегия

	B1	B2	B4	B5	B6	αi
	10	8	4	2	3	2
	1	2	3	12	6	1
βj	10	8	4	12	6

Имеем, , . Так как α< β, седловой точки нет и игра не имеет решения в чистых стратегиях

3) Решение в смешанных стратегиях.

Смешанные стратегии игроков

,

Строим график в системе координат pOν в соответствии с описанным выше алгоритмом.

Решение для игрока А.

_{Полигональная линия} ABCDE – нижняя огибающая, соответствующая нижней границе цены игры, т. е. наихудшим ситуациям для игрока А. Максимальное значение достигается в точке С, которая образуется пересечением линий, соответствующих стратегиям и игрока В. Абсцисса точки С соответствует вероятности p₂⁰ применения игроком А чистой стратегии A₂, а p₁^*=1-p₂^*– вероятности применения игроком А чистой стратегии A₂. Ордината точки С – цена игры ν^*. Оптимальное решение для игрока А, следующее:

, ν^* = 15/4.

Оптимальное решение можно получить аналитически из решения системы двух линейных уравнений воспользовавшись формулами (1.5) заменяя в них элементы матрицы, соответственно: a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂ на a₁₄, a₁₆, a₂₄, a₂₆

Решение для игрока B.

Точка С является пересечением пары чистых стратегий и Следовательно, вероятности использования других стратегий равны нулю: q₁= q₂= q₅ = 0. На графике q₄^* и q₆^* равны долям, на которые проекция точки С на ось ординат Oν делит отрезок (a₁₆ a₁₄). Оптимальное решение для игрока В, следующее:

, ν^* = 15/4.

Оптимальное решение можно получить аналитически из решения системы двух линейных уравнений воспользовавшись формулами (1.6) заменяя в них элементы матрицы, соответственно: a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂ на a₁₄, a₁₆, a₂₄, a₂₆