Площадь треугольника
Обозначения:
ha - высота, проведенная к стороне a.
p - полупериметр, т.е. половина от суммы всех сторон треугольника.
R - радиус описанной окружности.
r - радиус вписанной окружности.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Решение треугольников
Решение прямоугольных треугольников
|
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. В нем
|
A+
B=90
;
sin
B=cb;Решение произвольных треугольников
Для решения произвольных треугольников существует теорема косинусов и теорема синусов.
Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Формула a2=b2+c2−2b c cos A ( или формула b2=a2+c2−2a c cos B или формула c2=b2+a2−2b a cos C ) позволяет вычислить длину одной из сторон треугольника по данным длинам двух других сторон и величине угла, лежащей против неизвестной стороны. Теорема косинусов позволяет также по даннм величинам сторон треугольника вычислить величины его углов: cos A=2b cb2+c2−a2; cos B=2a ca2+c2−b2; cos C=2a ba2+b2−c2.
Теорема
синусов. Стороны
треугольника пропорционально синусам
противоположных углов asin
A=bsin
B=csin
C ,
где a, b, c -
стороны треугольника.
Теорема синусов позволяет по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них (или по стороне и двум углам) вычислить остальные элементы треугольника.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Прямоугольный треугольник
Треугольник называют прямоугольным, если у него есть прямой угол. Прямоугольный треугольник имеет две взаимно перпендикулярные стороны, называемые катетами; третья его сторона называется гипотенузой.
По свойствам перпендикуляра и наклонных гипотенуза длиннее каждого из катетов (но меньше их суммы).
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу.
Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами. Поэтому одна из четырех замечательных точек попадает в вершины прямого угла треугольника.
Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямоуго угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.
Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник АВС и проведем высоту СD = hc из вершины С его прямого угла.
Она разобьет данный треугольник на два прямоугольных треугольника АСD и ВСD; каждый из этих треугольников имеет с треугольником АВСобщий острый угол и потому подобен треугольнику АВС.
Все три треугольника АВС, АСD и ВСD подобны между собой.
|
|
