Простая функция Сложная функция Замена Простая функция

y = x⁵ y =(3x – 2)⁵ u = 3x – 2 y = u⁵

y = sin x y = sin u = y = sin u

y = ln x y = ln cosx u = cosx y = ln u

y = y = u = ln x³ y =

y = f(x) y = f(φ(x)) u = φ(x) y = f(u)

Производная сложной функции

Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу (замене) на производную промежуточного аргумента (замены) по основному.

(1)

Например. Найти производную функции y = (3x² – 5)³.

Решение. y^’ = ((3x² – 5)³) ^’ Функция сложная.

Заменой переменной обозначим u = (3x² – 5).

Тогда функция примет вид y = u³.

По (1) ищем ее производную в таком виде: y^’ = (u³) ^’= 3u²∙u^’.

Вернемся к старой переменной: y^’ = (u³) ^’= 3u²∙u^’ = 3(3x² – 5)²(3x² – 5)^’

Взяв производную скобки, окончательно получим:

y^’ = 3(3x² – 5)²∙6х = 18х(3x² – 5)².

Замечание.

1. Для введения промежуточной переменной u необходимо помнить, что функция должна стать простой, т.е. иметь одно действие. Для этого необходимо разобраться в порядке действий в данной функции, найти последнее и оставить его, т.е. обозначить за u все, что есть, до последнего действия.

2. За u не обозначается постоянное число, помнить, что u – это функция.

3. За u не обозначается все выражение, т.к. тогда не будет ни одного действия.

Например.

1) y = 2(x – 1)⁵, u = (x – 1) у = 2u⁵

2) y = , u = y = sin u

3) , u = y = ln u

Примеры

Продифференцировать функции

1. y = (x³ – 4x + 1)³

Решение

Функция сложная, т.к. над аргументом х выполняется несколько действий. Введем промежуточную функцию u = (x³ – 4x + 1), сводящую данную функцию к простой y = u³.

И тогда, по формуле степенной функции (7) получим:

y^’ = (u³)^’= 3u²∙u^’ = 3 (x³ – 4x + 1)²(x³ – 4x + 1)^’ = 3 (x³ – 4x + 1)²(3х² – 4)

2. 

Решение

Функция сложная, т.к. над аргументом х выполняется несколько действий. Введем промежуточную функцию u = 2x² – 3x + 4, сводящую данную функцию к простой: .

Тогда, по формуле (10):

( )′ = , получим:

3. 

Если дан корень другой степени, то его нужно преобразовать в степень с дробным показателем и затем применить формулу (7).

4. 

Решение

Функция сложная, введем промежуточную переменную .

И по формуле (12):

=

₌

Физический смысл производной

Определение. Физический смысл производной заключается в том, что ее значение равно скорости функции в точке х₀.

Определение. Физический смысл производной второго порядка заключается в том, что ее значение равно ускорению функции в данной точке х_0.

Решить задачи:

1. Первая точка движется по закону S₁ = 5t² – 2t + 1. Вторая – по закону S₂ =5t² – 3t + 2. Найти скорость и ускорение обеих точек в тот момент, когда их пути сравняются.

Решение

Найдем момент (время), когда пути, пройденные точками, сравняются, т.е. будут равны: S₁ = S₂ 5t²–2t+1 = 5t²–3t+2.

Решая полученное уравнение относительно t, получим t = 1.

По определению физического смысла производной V = (S)’.

Таким образом, найдем формулы для вычисления скоростей каждой точки:

V₁ = (S₁)’ = (5t² – 2t + 1)’ = 10t – 2;

V₂ = (S₂)’ =(5t² – 3t + 2)’ = 10t – 3.

Тогда в момент t = 1 равенства пути найдем скорости каждой точки:

V₁ (1) = 10∙1 – 2 = 8;

V₂ (1) = 10∙1 – 3 = 7.

По определению физического смысла производной второго порядка ускорение а = (V)’.

Тогда, найдем формулы для вычисления ускорения каждой точки:

a₁ = (V₁)’ = (10t – 2)’ = 10

а₂ = (V₂)’ = (10t – 3)’ = 10.

Таким образом, ускорение не завит от времени ни для одной точки и равно 10 в любой момент времени для каждой точки.

2.Точка движется прямолинейно по закону . Найти ее скорость в момент t = 2,25.

Решение

1) Найдем скорость по формуле:

2) Вычислим скорость в момент времени t=2,25