1.2.Операции над матрицами

Суммой двух матриц одинакового размера А + В, где А = , В = есть матрица С = того же размера с элементами с_ij = a_ij + b_ij при всех i и j. Т.е. сложение матриц одинакового размера производится поэлементно.

Например,

Найти сумму матриц А + В, если

A = , B = .

С = = .

Произведением матрицы на действительное число называется матрица, элементы которой получены умножением на это число всех элементов данной матрицы: λА = λ , где λ – число.

Например,

2 = .

Произведением матриц А и В, (причем число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы), называется матрица С, элементы которой равны сумме произведений элементов каждой строки матрицы А на каждый элемент столбца матрицы В.

Т. е. с_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j +…+ a_1nb_nj , i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, k.

Например,

С = А ∙ В = = , где

с₁₁ = 1∙1 + (-2) ∙ (-6) + 2 ∙ (-3) = 7

с₂₁ = 3 ∙1 + 1 ∙ (-6) + (-2) ∙ (-3) = 3

с₁₂ = 1∙ 4 + (-2) ∙ 5 + 2 ∙6 = 6

с₂₂ = 3 ∙ 4 + 1 ∙ 5 + (-2) ∙ 6 = 5

с₁₃ = 1∙ 2 + (-2) ∙ (-9) + 2 ∙ (-5) = 10

с₂₃ = 3 ∙ 2 + 1 ∙ (-9) + (-2) ∙ (-5) = 7.

2.Определители и их свойства

Определение 1. Таблица вида , где a₁₁, a₁₂,…a_1n,…a_n1,…a_nn – некоторые числа, называется определителем матрицы порядка n.

Например: , - определители 2 – го и 3 – го порядков.

Вычисление определителя осуществляется по определенному правилу:

1. создать сумму произведений элементов по одному из каждой строки и каждого столбца со знаком + или – ;

– +

+ -

= ;

Например:

1) Вычислить определитель 2 – го порядка: .

Для этого удобно пользоваться правилом 1: = =5

2) Вычислить определитель 3-его порядка: .

Получим:

= = – 92.

3.Системы линейных уравнений со многими неизвестными

3.1.Основные понятия

Определение. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называют систему вида:

где а_ij – коэффициенты; х_j – неизвестные. Первый индекс i – означает номер строки, второй j – номер столбца. В случае, когда система не высокого порядка, можно коэффициенты и неизвестные обозначать разными буквами.

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

,

где а₁, а₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c_1, c₂, c₃, d₁, d₂, d₃ – коэффициенты;

х, у, z – неизвестные.

Определение Тройка чисел (х₀ , у₀ , z₀ ) называется решением системы, если при подстановке этих чисел в уравнение системы вместо х, у, z получаются верные числовые равенства.

Существует несколько способов решения систем линейных уравнений.

3.2.Метод Крамера

Метод Крамера состоит в следующем: составляется n + 1 определитель:

Δ – определитель системы (составляется из коэффициентов системы в том порядке, как они записаны в системе;

Δ_хi – определители каждого неизвестного (составляются из определителя системы Δ путем последовательной замены столбца коэффициентов того неизвестного, определитель которого записывается, столбцом свободных коэффициентов;

Решение системы находится по формулам Крамера:

х₁ = ; х₂ = ; … ; х_n = .

Если Δ = 0, то система либо не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений, которые могут быть найдены методом исключения.

Например, решить систему методом Крамера:

.

Решение. Составим и найдем определитель системы:

Δ = = - 27

Составим и найдем определитель Δх (заменим столбец коэффициентов при неизвестном х столбцом свободных коэффициентов):

Δх = = - 81

Вернем первый столбец на место и составим и найдем определитель Δу (заменим столбец коэффициентов при неизвестном у столбцом свободных коэффициентов):

Δу = = - 108

Вернем второй столбец на место и составим и найдем определитель Δz (заменим столбец коэффициентов при неизвестном z столбцом свободных коэффициентов):

Δz = = - 135.

Подставив найденные значения определителей в формулы Крамера, получим:

х = ; у = ; z = .

Ответ: (3; 4; 5 ).