Комплексные числа

Теоретический материал

Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами математики. Сначала для счета предметов использовались натуральные числа. Затем необходимость выполнения деления привела к понятию дробных положительных чисел; далее необходимость выполнения вычитания к понятию нуля и отрицательных чисел, наконец, извлечение корня из положительных чисел – к понятию иррациональных чисел. Остались и невыполненные операции, например, извлечение квадратного корня из отрицательного числа. Геометрически действительные числа изображаются точками на координатной прямой. Между ними существует взаимнооднозначное соответствие. На координатной прямой «нет места для новых чисел». Возникает предположение о том, что геометрические образы новых чисел надо искать уже не на прямой, а на плоскости. Поэтому естественно для новых чисел – их называют комплексными – ввести упорядочные пары действительных чисел (упорядоченные в том смысле, что(a, b) и (b, a) – разные).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Комплексным числом называется всякая упорядоченная пара (a, b), где a; b –действительные числа.

Каждому комплексному числу (a, b) соответствует единственная точка координатной плоскости с координатами (a, b) и наоборот.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Два комплексных числа (a, b) и (c, d) называются равными, когда a=c b=d.

Алгебраическая форма комплексного числа

Условимся комплексное число (0; 1) обозначать буквой i и называть мнимой единицей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Мнимой единицей называется квадратный корень из -1 ( = i).

Тогда i i = -1 или i² = -1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Запись a+bi называется алгебраической формой комплексного числа Z = (a, b), при этом а называется действительной частью, b – мнимой.

Если a, b 0, то число называется мнимым и имеет вид a + bi;

если а = 0, b 0, то – чисто мнимым и имеет вид bi;

если а 0, b= 0, то получается действительное число а.

Алгебраическая форма комплексного числа существенно облегчает выполнение арифметических операций, считая a+bi и c+di обычными двучленами.

1) (a+bi) + (c+di) = (a + c) + (b + d)i

2) (a+bi) - (c+di) = (a - c) + (b - d)i

3) (a+bi) (c+di) = ac+bci+adi+bdi² =|т.к. i² =1|=(ac–bd)+(bc+ad)i

4)

При этом числа c+di и c-di называются сопряженными.

Примеры:

1. Вычислить (2 – I)2

Решение: Используя формулу (a – b)² = a² – 2ab +b² , получим

(2 – i) ² = 4 – 4i + i² = 4 – 4i – 1 = 3 – 4i

2. Вычислить (1 + 2i)i -

Решение:

(1 +2i)i = i +2i² = -2 + i

(-2 + i) –

3.Решить уравнение x² - 4x +13 = 0

Решение:

x_1,2 = 4 .

Так как = ai² = -a, то

Геометрическая форма комплексного числа

Геометрически комплексное число Z= a + bi изображается на плоскости точкой М с координатами a и b. Соединим М с началом координат О.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отрезок ОМ называется радиусом- вектором точки М, а его длина - модулем комплексного числа, т.е |Z| = .

Например, |3 - 4 i| = .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Угол , который образует радиус-вектор точки M (a; b) с положительным направлением оси O_x , называется аргументом комплексного числа Z =a+bi; 2k, k = 0, 1, 2 – также аргумент числа Z, обозначают argZ.

В геометрической форме с комплексными числами можно выполнять те же действия, что и с векторами: сложение, вычитание, умножение на число.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть число Z = a + b изображено точкой M и радиус-вектор пересекает в точке Р единичную окружность с центром в точке О.

Точка Р имеет координаты cos и sin . Длина P = 1, а длина ОМ = |Z| , значит, точка М имеет координаты a = |Z| cos  , b = |Z| sin 

Тогда получаем:

Z = a +bi = |Z| cos sin i = |Z| (cosi sin 

cosi sin 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Равенство cosi sin называют тригонометрической формой комплексного числа, где |Z| = ,cos  = ; sin 

Пример.

Представить в тригонометрической форме число Z, если

1. Z = .

Решение:

Ответ: Z = 2(cos

2. Z = -8

Решение:

a = -8 b = 0

|Z| =

cos  sin 

Ответ: Z = -8 =8(cos sin 

3) Z = 3i

Решение: a = 0, b = 3 |Z| =

cos sin  

Ответ: Z = 3i = 3

4) Z = 2- 2i

Решение:

a = 2 b = -2 |Z| =

cos  sin  

Ответ: Z = 2- 2i =

В тригонометрической форме с комплексными числами можно производить следующие действия: сложение, вычитание, возведение в степень, извлечение корня.