Математическая статистика

Выборка

Пусть требуется изучить некоторую совокупность объектов относительно некоторого признака. При этом или объектов много или исследование всех слишком дорого, или исследование ведет к уничтожению объектов.

Определение 1. Генеральной совокупностью называется множество числовых значений некоторого признака всех объектов данной совокупности.

Определение 2. Выборочной совокупностью или выборкой называется множество числовых значений некоторого признака всех объектов, случайно отобранных из всей данной совокупности.

Например, партия всех лампочек – это генеральная совокупность. Множество лампочек, взятых для исследования – это выборочная совокупность.

Определение 3. Число объектов данной совокупности называется объемом.

Например, цех выпустил 2000 деталей, а для обследования взяли 150, то объем генеральной совокупности – N = 2000; объем выборочной совокупности – n = 150.

Основные виды выборок

Простой отбор – из генеральной совокупности случайно извлекается по одному объекту.

Например, белые медведи.

Типический отбор – объекты для выбора отбираются из каждой «типической» части совокупности. Например, детали отбираются для исследования пропорционально из каждого цеха.

Механический отбор – объекты отбираются через определенный интервал. Например, каждая 1, 5, 10, … деталь.

Серийный отбор – выборка целой серии объектов. Например, если условия работы в цехе не меняются в течение недели, то можно исследовать один день.

Группировка статистических данных

Пример. Экономист, интересующийся тарифным разрядом рабочих цеха выбрал документы 100 рабочих и выписал их разряды:

5, 1, 4, 5, 4, 3, 6, … - Эта последовательность представляет собой статистические данные, которые подлежат обработке.

Изучение данных начинается с их группировки в порядке возрастания значения признака. В нашем примере получим:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,…

где 1 – повторяется 4 раза;

2 – 6 раз,

3 – 12 раз,

4 – 16 раз,

5 – 44 раза,

6 – 18 раз.

Наблюдаемые значения рассматриваемого признака называются вариантами, а последовательность вариант, записанная в порядке возрастания, называется вариационным рядом.

Пусть х_i – значения вариант, х₁, х₂, …, х_k – вариационный ряд,

x₁ – минимальное, х_k – максимальное значения вариант.

Определение. Размахом выборки называется разность между наибольшим и наименьшим значениями признака:

Пусть в выборке значения x₁ наблюдаются n₁ раз, x₂ – n₂ раза,… , х_k – n_k – раз. Тогда числа n₁, n₂, … , n_k – называют частотами, ω₁ = , ω₂ = , … , ω_k = - относительными частотами

Определение Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих частот или относительных частот данной выборки.

Данные заносят в таблицу.

хi	x1	x2	…	хk
ni	n1	n2	…	nk
ω i	ω1	ω2	…	ωk

Например, в случае с изучением рабочих статистическое распределение будет выглядеть следующим образом: всего изучалось n = 100 – рабочих, имеющих 1 – 6 разряды.

хi	1	2	3	4	5	6
ni	4	6	12	16	44	18
ω i

При большом числе наблюдений и большом числе вариант удобно варианты группировать по отдельным интервалам их значений. Для этого шкала интересующего нас признака разделяется на некоторое число интервалов, и вместо отдельных вариант рассматриваются группы значений, попавших в последовательно расположенные интервалы.

Пусть m – число таких интервалов. Ширина интервалов d определяется путем деления размаха выборки ∆х = х_k – х₁ на количество интервалов: d = .

В таких случаях составляется статистическое распределение выборки по частотам интервалов (интервальное статистическое распределение выборки). При этом частота интервала равна сумме частот вариант, попавших в данный интервал.

Например, найти статистическое распределение для следующей выборки:

Исследуется возраст рабочих предприятия по 20 случайно выбранным рабочим, возраст которых выписан в последовательности

24, 19, 38, 25, 44, 52, 69, 47, 29, 34, 42, 31, 25, 28, 57, 40, 42, 61, 35, 47.

Решение. Рассмотрим группы значений вариант с числом интервалов равным 5: m = 5.

х₁ = 19, х_k = 69, d = = 10. Тогда образуются следующие интервалы:

[19; 29], (29; 39], (39; 49], (49; 59], (59; 69].

Определим количество рабочих, попавших в каждый интервал.

[19; 29] - 6 раз; (29; 39] – 4 раз; (39; 49] – 6 раз; (49; 59] – 2 раза; (59; 69] – 2 раза.

Тогда распределение будет выглядеть следующим образом:

хi	[19; 29]	(29; 39]	(39; 49]	(49; 59]	(59; 69]
ni	6	4	6	2	2
ω i	= 0,3	= 0,2	= 0,3	= 0,1	= 0,1