Лабораторные работы / Lektsia_Dinamicheskie_kh-ki_rakety_kak_tverdogo_tela

Лекция 3.

Динамические характеристики ракеты как твердого тела

1. Силы, действующие на ракету в полете

При определении внешних сил будем исходить из гипотезы, согласно которой неустановившейся характер движения ракеты во внимание не принимается и силы определяются так, как если бы движение было установившемся с постоянными значениями параметров, равными их мгновенным значениям.

Силы, воздействующие на ракету в полете, можно разделить на аэродинамические,

силы тяжести и силы тяги двигателей.

Определим прежде всего системы координат, с которыми придется встречаться в дальнейшем. Все системы координат будем принимать прямоугольными и правыми (рис. 1.1). Система координат Ax0 y0 z0 , оси которой неподвижны относительно Земли,

называется земной, или стартовой системой. Начало координат совпадает с точкой старта,

ось Ay0 направлена вертикально вверх, ось Ax0 касательной к дуге большого круга,

соединяющего старт с целью. Эта система координат используется для расчета траектории ракеты.

Рис. 1.1

Подвижная система координат Ox1 y1z1 , оси которой связаны с корпусом ракеты,

называемой связанной системой. Начало её совпадает с центром масс ракеты – точкой О,

координатные оси Ox1, Oy1, Oz1 совмещены с главными центральными осями инерции ракеты, причем ост Ox1 направлена по оси ракеты, называемой ее продольной осью.

Поперечная ось Oy1 расположена так, чтобы в положении на старте плоскость x1Oy1

совпадала с плоскостью x0 Ay0 .

Введем вторую подвижную систему координат и свяжем ее с траекторией полета ракеты. Начало координат помести в центре масс ракеты, ось Ox направим по касательной к траектории, ось Oy направим в вертикальной плоскости перпендикулярно

Ox . Подвижная система координат Oxyz называется скоростной (или поточной)

системой координат. Так ось Ox совпадает с направлением вектора скорости , то в скоростной системе координат определяются компоненты X ,Y , Z аэродинамической силы, воздействующей на корпус.

Рисунок 1.2

Введём некоторые угловые координаты. Угол между продольной осью ракеты Ox1 и

горизонтальной плоскостью в точке старта называется углом тангажа. Угол между вектором скорости и горизонтальной плоскостью в точке старта обычно называют углом наклона траектории к стартовому горизонту.

Угол , который составляет продольная ось Ox1 и плоскость x0Оy0 , называется углом рысканья (рис. 1.2). Угол , которая составляет поперечная ось Oy1 и плоскость x0Оy0 ,

называется углом крена. Угол крена определяет поворот корпуса ракеты относительно продольной оси.

В дальнейшем будем всегда полагать, что ракета обладает двумя плоскостями симметрии, совпадающими с плоскостями x1Oy1 и x1Oz1 .

Углом атаки называется угол между проекцией вектора скорости на вертикальную плоскость симметрии x1Oy1 и продольной осью Ox1 . Углом скольжения называется угол между вектором скорости и вертикальной плоскостью симметрии x1Oy1 .

Для жесткого корпуса ракеты систему распределенных по поверхности корпуса аэродинамических сил в случае плоского движения приводят к равнодействующей,

которую для удобства представляют в виде двух составляющих: подъемной силы Y и

силы лобового сопротивления X, приложенных в центре давления.

При малых углам атаки подъемная сила пропорциональна углу атаки. Влияние формы и размеров корпуса на подъемную силу учитывается некоторым характерным размером S – площадью миделя и безразмерных коэффициентом подъемной силы cy . В

отличии от подъемной силы Y сила лобового сопротивления X при малых углах атаки почти не зависит от величины этих углов. Поэтому

в радианах.

Рисунок 1.3

Коэффициенты сy и cx характеризуют внешнюю конфигурацию объекта и зависят от числа М и угла атаки, так что

При изучении движения ракеты нужно определить момент М а аэродинамических сил Y и X относительно поперечной оси, проходящей через точку О – центр масс ракеты

(рис. 1.3):

распределения масс ракеты, которое и меняется по мере выгорания топлива. Взаимное расположение центра давления и центра масс важно для стабилизации ракеты в полете.

Различаются:

А) статически устойчивая ракета, когда xF xM , cm 0;

Б) статически неустойчивая ракета, когда xF xM , cm 0;

В) нейтральная ракета при xF xM , cm 0.

Если центр давления находится впереди центра тяжести ( cm 0 ), то при отклонении оси ракеты от направления полета аэродинамические силы создадут момент,

отклоняющий ост ракеты на еще больший угол. Такая ракета без автомата стабилизации лететь не сможет.

Рис. 1.4

Для обеспечения статической устойчивости или уменьшения статической неустойчивости ракета снабжена хвостовым оперением. Неоперенная ракета обычно бывает статически неустойчивой. Запас статической устойчивости определяется величиной

xF xM 100%. l

Кроме момента М а , который при cm 0 называется стабилизирующим моментом,

при вращении корпуса ракеты относительно поперечной оси Oz1 с угловой скоростью возникает демпфирующий момент. Этот момент складывается из аэродинамического демпфирующего момента, обусловленного появлением дополнительных углов атаки

(x xM ) ,

и момента от кориолисовых сил (рис. 1.4). Координата x для произвольного поперечного сечения отсчитывается от вершины корпуса.

Аэродинамическим демпфирующий момент всегда направлен в сторону,

противоположную вращению корпуса ракеты:

М 'д 0l (x xм ) Yx dx qSl2cm ,

где cm – вращательная производная от аэродинамического коэффициента.

Демпфирующий момент от кориолисовых сил возникает при повороте потока жидкости, движущейся в баках и трубопроводах ракеты, и потока газов, движущихся по камере и соплу двигателя. Этот момент можно определить, если принять, что указанные потоки вращаются так же, как и корпус ракеты.

Величина и направление кориолисова ускорения определяются векторным произведением

ak 2 r ,

где r – относительная скорость движущегося в ракете полета.

Если, например, масса элемента движушегося по трубопроводу потока жидкости равнаSп dx , где Sп – площадь проходного сечения трубопровода, – плотность жидкости, то

при sin( ^ r ) 1 кориолисова сила будет равна

dYk 2 Sп r dx

и направлена в сторону, противоположную ускорению.

Элементарный момент кориолисовой силы относительно центра масс

dMk 2 Sп r (x xм )dx.

Ввиду того, что при установившемся режиме работы двигателя секундный расход массы mcj , через любое поперечное сечение потока от поверхности жидкости в баке до среза сопла постоянен,

j Sп rj mcj const,

величину момента М к можно определить суммированием элементарных моментов по всем потокам в баках, из которых расходуются компоненты:

При полете ракеты в плотных слоях атмосферы момент от кориолисовых сил Мк значительно меньше демпфирующего момента Мд от аэродинамических сил. За пределами атмосферы момент кориолисовых сил становится преобладающим. Таким образом,

вследствие ее малости в расчетах пренебрегают.

В качестве основных управляющих органов в жидкостных ракетах применяются поворотные двигатели и газовые рули [13], |17|, [21]. Иногда в качестве дополнительных органов используются воздушные рули, эффективность которых

существенна лишь при больших скоростных напорах.

Поверхностные газодинамические силы, воздействующие на руль,

приводятся к подъемной силе Yг. р. и силе лобового сопротивления Х г. р. ,

приложенным к оси вращения руля, и шарнирному моменту М г.ш. . Эти величины могут быть определены по обычным формулам:

где qг – скоростной напор обдувающего руля газового потока; Sг , lг – характерная площадь и длина газового руля; г – угол поворота газового руля.

Углы поворота газовых рулей на активном участке траектории изменяются в

Здесь в – угол поворота воздушного руля относительно корпуса.

Кроме шарнирных моментов, при отклонении газовых и воздушных рулей возникают демпфирующие моменты, пропорциональные угловой скорости .

Однако величины шарнирных и демпфирующих моментов несоизмеримо малы по сравнению с величиной момента Yг. р. (или Yв. р. ) относительно центра масс ракеты,

поэтому в уравнениях движения обычно не учитываются. Величина шарнирного момента руля имеет значение только для анализа работы рулевых моментов,

отклоняющих рули.

Если органами управления являются поворотные двигатели, то

Yp P sin , X p P(1 cos )

при малых углах поворота Yp P , X p P 2 2 0 .

Независимо от типа органов управления будем в дальнейшем полагать, что при малых углах поворота сила лобового сопротивления рулей X p не зависит от угла , а

поперечная управляющая сила Yp пропорциональна углу .

В общем виде Yp Ryp , где Ryp – градиент управляющей силы рулей.

Сила тяги ракетного двигателя при постоянном секундном расходе топлива зависит от высоты полета. Эту зависимость можно представить следующей формулой:

P P0 Sa ( p0 pH ),

где P0 – сила тяги двигателя у поверхности Земли; Sa – площадь среза сопла; p0 , pH –

статическое давление воздуха у поверхности Земли и на высоте Н. По мере набора высоты сила тяги плавно возрастает соответственно падению атмосферного давления.

В зависимости от характера запуска двигателя сила тяги может нарастать быстрее или медленнее, непрерывно или ступенями. Точно так же и при выключении двигателя сила тяги исчезает не мгновенно, а наблюдается, как говорят, явление последействия.

После отсечки двигателя вследствие догорания остатков топлива продолжает создаваться небольшая сила тяги. Однако, как время выхода двигателя на режим, так и в особенности период последействия составляют небольшую долю от общего времени работы двигателя.

Эффективной называется тяга, которая меньше тяги двигателя на величину силы лобового сопротивления газовых рулей, т. е. Pэ Р Х г. р..

Вес ракеты во время полета изменяется как вследствие изменения массы m ракеты,

так и вследствие изменения ускорения силы тяжести g.

Масса ракеты в заданный момент времени полета t равна начальной массе m0 за вычетом массы сгоревшего топлива, т. е. m m0 0t mc dt.

где g0 – ускорение силы тяжести у Земли; R0 –радиус Земли.

2. Уравнение движения ракеты

Во время работы двигателей масса ракеты уменьшается, так что ракета является телом переменного состава. При выводе уравнений движения применим принцип затвердевания. Руководствуясь этим принципом, уравнения движения ракеты в произвольный момент времени будем записывать как уравнения движения твердого тела постоянного состава (для того же момента времени), включив в число внешних сил реактивные и кориолисовы силы.

Уравнения движения центра инерции (центра масс) и вращения относительно центра инерции (центра масс) в векторной форме имеют вид

внешних сил, приложенных к телу.

Спроектируем первое уравнение (1.11) на подвижные прямоугольные оси координат Oxyz , имеющие начало координат в центре инерции твердого тела. Получим

Здесь

x , y , z – проекции вектора скорости центра инерции твердого тела на подвижные оси;

x , y , z – проекции вектора угловой скорости подвижных осей относительно неподвижных осей на подвижные оси;

Fx , Fy , Fz – суммы проекций внешних сил, действующих на твердое тело, на

подвижные оси.

Второе уравнение (1.11) вращательного движения запишем в форме Эйлера [12],

приняв за подвижные оси координат главные центральные оси инерции ракеты. Положим,

что направление этих осей относительно корпуса не зависит от расхода топлива и остается неизменным. Имеем

ракеты в вертикальной плоскости будем называть также продольным движением, или движением в плоскости тангажа.

По некоторым причинам действительное движение будет всегда отличаться от программного, так что, кроме продольного движения, может одновременно существовать и боковое движение с координатами и , которое называется движением в плоскости рысканья, или движением рысканья. Движение с координатой называется вращением относительно продольной оси ракеты, или движением крена.

Наличие плоскостей симметрии ракеты дает возможность разделить общее движение, описываемое уравнениями (1.12) и (1.13), на продольное, движение в плоскости рысканья и вращение относительно продольной оси.

Если кинематические параметры движения в плоскости рысканья и отклонения органов управления этим движением полагать малыми, а траекторию полета – мало отличающейся от плоской, то продольное движение практически не будет зависеть от движения в плоскости рысканья. Однако исследование движения рысканья и движения крена можно провести лишь после того, как будут определены параметры продольного движения.

Пусть стабилизация ракеты осуществляется раздельно по тангажу, рысканью и крену. Тогда уравнения, описывающие работу системы управления в плоскости тангажа,

рысканья и крена будут независимыми. В этом случае уравнения движения управляемой ракеты в плоскости тангажа можно получить и проанализировать независимо от уравнений движения в плоскости рысканья.

Рис. 1.5

На рис. 1.5 показаны силы, действующие на ракету. Найдем уравнения движения ракеты в вертикальной плоскости в скоростной системе координат. Полагая, что ы уравнениях (1.12) и (1.13) x , y z 0, y 1 2 0, 3 , z ,

m (P X p ) cos X G sin Yp sin X в , m (P X p sin Y G cos Yp cos Yв ,

Iz M a M д Yp (xp xм ) M в .

Здесь Xв ,Yв , Mв – возмущающие силы и момент; G-вес ракеты.