Лабораторные работы / Lektsia_Dinamicheskie_kh-ki_rakety_kak_tverdogo_tela
.pdf
m xн |
Pэ cos н Gsin н X н Yр.н sin н , хн |
н , |
|
|
||||||||||
ун |
|
0, Yн Pэ sin н G cos н Yр.н cos н 0 |
|
|
|
|
|
|||||||
н |
0, M a.н Yр.н (xp xм ) 0. |
|
|
|
|
|
(1.33) |
|||||||
m |
|
P sin( |
|
) G cos |
|
X * sin |
y |
Y * cos |
y |
Y * cos( |
|
), |
||
y |
н |
н |
|
|
н |
|||||||||
|
|
э |
|
н |
|
|
|
p |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|||
I М д* М а* Yp* (xp xм ).
Рис. 1.7 |
|
|
Выразим возмущенные силы и моменты X * ,Y * ,Y * , M * , M * |
через величины (1.17) и |
|
p |
д а |
|
|
|
|
произведя вычитание (1.31) из (1.33), получим уравнение движения ракеты в неподвижной системе координат относительно возмущений x , y , , :
|
x |
c |
|
x |
c |
|
y |
c |
c |
0, |
|
||||
|
x x |
|
x y |
|
x |
|
x |
|
|
|
|||||
|
y |
c |
|
y |
c |
|
x |
c |
|
c |
|
0, |
(1.34) |
||
|
y y |
|
y x |
|
y |
y |
|
|
|||||||
c c c x x c y y c 0.
Впервом уравнении коэффициенты
c |
|
|
1 |
|
|
Sc |
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
н |
|
|
x |
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
c |
|
|
1 |
|
|
н |
S |
c , (1.35) |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
m |
2 |
|
|
|
н |
y |
|||
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
c |
|
|
1 |
|
R |
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
x |
|
|
m |
|
|
yp |
н |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Здесь вариация принята равной вариации х . Во втором уравнении
c y y
c y x
c у
m1 2 н S (cy сx ),
m1 н Scy н ,
1 P н 2 Sc m э 2 y
(1.36)
Ryp н н .
Остальные коэффициенты вычисляются по формулам (1.21), (1.29), (1.30).
5. Анализ уравнений возмущенного движения
Коэффициенты уравнений возмущенного движения (1.19), (1.22), (1.24), (1.27), (1.34)
определяются через характеристики ракеты, плотность воздуха и кинематические параметры невозмущенного движения, т. е. являются известными функциями времени.
Несмотря на то, что перечисленные системы уравнений линейны относительно возмущений, их анализ затруднен наличием переменных коэффициентов. Решать такие уравнения обычно можно методами численного интегрирования на электронных цифровых вычислительных машинах (ЭЦВМ) или используя моделирующие устройства.
Для предварительного анализа при проектировании ракеты и системы ее управления обычно используется так называемый прием «замораживания» коэффициентов уравнении
[3], [8], [15], при помощи которого можно получить хотя и грубые, но более общие и
обозримые результаты.
Сущность приема «замораживания» коэффициентов заключается в следующем. Пусть,
например, коэффициенты системы уравнений возмущенного движения (1.19)
c (t),..., c (t) определены для некоторой траектории невозмущенного движения. На этой траектории выбирают несколько характерных точек и вместо системы уравнений (1.19) с
переменными коэффициентами рассматривают совокупность аналогичных систем с постоянными коэффициентами c (tk ),..., c (tk ) , представляющими собой значения коэффициентов уравнения (1.19) в фиксированные моменты времени tk и в этих промежутках коэффициенты уравнений считают постоянными. Этот прием во многих случаях дает удовлетворительные результаты.
Прием «замораживания» коэффициентов позволяет применять широко известные в инженерной практике методы решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, методы оценки устойчивости решений, частотные методы теории автоматического регулирования. Вместе с тем исследованием при помощи приема
«замораживания» коэффициентов следует рассматривать как предварительна, носящие в основном качественный характер. Они должны быть дополнены исследованиями систем
уравнений при помощи других методов, в частности, при помощи моделирующих устройств ЭЦВМ. В этих исследованиях обычно учитываются специфические особенности систем, например, нелинейности систем управления, вследствие чего представляется возможным уточнить результаты, полученные на основании линейных уравнений.
Рассмотрим возмущенное движение ракеты в плоскости тангажа которое описывается уравнениями (1.19). Для упрощения примем, что невозмущённое движение представляет прямолинейный установившийся полет и что коэффициенты уравнений постоянны.
Используем символическую запись p , p2 ,...
Характеристический полином для системы уравнений (1.19) при 0 будет
L( p) p4 a1 p3 a2 p2 a3 p a4
Коэффициенты a1, a2 , a3 , a4 – вещественные, поэтому корни полинома могут быть или вещественными или комплексно сопряженными.
Как показывают многочисленные расчеты для статически устойчивой ракеты,
характеристический полином имеет две пары комплексных сопряженных корней, причем вещественная и мнимая части одной пары корней по абсолютной величине во много раз превышают вещественные и мнимые части другой пары корней. Это значит, что свободное возмущенное движение можно представить в виде суммы двух движений – короткопериодического и длиннопериодического, соответствующего паре малых по модулю комплексных корней.