121Equation Chapter 1 Section 2 Расстояние от точки до плоскости. Нормальное уравнение плоскости

Если точка принадлежит плоскости

, 22\* MERGEFORMAT ()

то её координаты удовлетворяют уравнению (1). Выясним, какой геометрический смысл имеет выражение

, 33\* MERGEFORMAT ()

если точка не принадлежит плоскости.

Опустим из точки перпендикуляр на плоскость. Пусть - основание перпендикуляра. Так как точка лежит на плоскости, то . Выразим отсюда и подставим в выражение (2), получим:

где - вектор, перпендикулярный плоскости, – его модуль, - расстояние от точки до плоскости.; при ; при . Получим

. 44\* MERGEFORMAT ()

Таким образом, выражение (2) положительно для точек по одну сторону плоскости и отрицательно по другую.

Из равенства (3) следует:

, 55\* MERGEFORMAT ()

т.е. по абсолютной величине выражение (2) пропорционально расстоянию с коэффициентом пропорциональности

. 66\* MERGEFORMAT ()

Равенство (5) дает основную формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости (1):

. 77\* MERGEFORMAT ()

Если для коэффициентов уравнения выполняется равенство ,т.е. вектор - единичный, то формула упрощается: . Значит, выражение (2) с точностью до знака равно расстоянию . В этом случае говорят, что уравнение плоскости (1) в нормальной форме. Можно увидеть, что тогда , где - углы, образованные единичным вектором с осями соответственно. Эти косинусы называются направляющими косинусами вектора и удовлетворяют равенству .

Чтобы получить нормальную форму из общего уравнения плоскости (1), достаточно разделить его на коэффициент : .

Оно с точностью до знака имеет вид: , куда входят направляющие косинусы неединичного вектора и расстояние от начала координат О до плоскости.

Взаимное расположение плоскостей

Пусть имеем две плоскости:

83Equation Section (Next)99\* MERGEFORMAT ()

Выясним, при каком условии эти плоскости: а) параллельны, б) перпендикулярны.

Так как вектор перпендикулярен первой плоскости, а вектор - второй, то плоскости параллельны, только если векторы коллинеарны, т.е. , , , , откуда

. 1010\* MERGEFORMAT ()

Т.е. у параллельных плоскостей коэффициенты при соответствующих переменных их уравнений пропорциональны.

Замечание 1: Одно или даже два из трех отношений (2) могут иметь вид , если плоскости расположены специальным образом относительно системы координат.

Замечание 2: Совпадение плоскостей рассматривается как особый случай параллельности, тогда соотношение совпадает с ненулевыми отношениями (2), либо имеет вид .

Замечание 3: Условие параллельности (2) можно получить с помощью векторного произведения:

.

Для того, чтобы плоскости (1) были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы векторы и были перпендикулярны, т.е. , , - условие перпендикулярности плоскостей (1).

Пусть уравнениями (1) заданы две произвольные плоскости. Найдем угол между ними. Угол между векторами и равен одному из углов, образованных плоскостями. Угол между векторами легко найти с помощью скалярного произведения: , отсюда

Пусть имеем три различных плоскости:

. 1111\* MERGEFORMAT ()

Три плоскости либо:

1. пересекаются в одной точке,

2. параллельны некоторой прямой,

3. проходят через прямую,

4. две плоскости из трех параллельны,

5. три плоскости параллельны,

Если плоскости пересекаются в одной точке, то система уравнений (3) имеет единственное решение. Как известно из алгебры, это будет тогда и только тогда, когда

.

Это можно пояснить и другим способом. В общем случае, плоскости произвольны, поэтому векторы , , - не параллельны никакой плоскости, т.е. некомпланарны. Следовательно, их смешанное произведение, равное определителю , отлично от нуля.

Плоскости (3) будут параллельны некоторой прямой, если , что означает компланарность векторов . Если при этом система (3) совместна, т.е. имеет хотя бы одно решение, то плоскости пересекаются по прямой, представляющей однопараметрическое семейство решений.