2. Эллипс. Эллипс с каноническим уравнением

(1)

строится следующим образом: оси координат являются осями симметрии эллипса, а начало O – центром симметрии. Действительно, если точка (x,y) принадлежит эллипсу, то симметричные ей точки (x,-y ) и (-x,-y) относительно осей x,y и начала координат О тоже принадлежат эллипсу, т.к. удовлетворяют его уравнению (1), в которое входят только квадраты переменных. Точки пересечения эллипса с осями называются вершинами эллипса. Эллипс содержится внутри закрытого прямоугольника, который задаётся системой неравенств Прямоугольник ограничен касательными в вершинах эллипса. Он понимается как часть плоскости.

3. Гипербола.

Гипербола с каноническим уравнением

(3)

строится следующим образом: так же как и в случае эллипса, оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат – центром симметрии. Гипербола состоит из двух ветвей, симметричных относительно её мнимой оси y, расположенных вне открытого прямоугольника внутри двух вертикальных углов, образованных продолжениями его диагоналей. В самом деле, внутри прямоугольника и, следовательно,

т.е. не выполняется уравнение (3). Значит, внутри прямоугольника нет точек гиперболы.

Нет гиперболы и в дополнительных вертикальных углах.

Теорема. Если точка (x,y), двигаясь вдоль гиперболы, неограниченно удаляется от начала координат, то расстояние от неё до одной из продолженных диагоналей прямоугольника неограниченно убывает, иначе говоря, стремится к нулю.

Таким образом, прямые, задаваемые уравнениями

являются асимптотами гиперболы.

Гипербола с уравнением называется сопряжённой по отношению к рассмотренной гиперболе (3). Она имеет те же асимптоты, но располагается в дополнительных вертикальных углах, образованных асимптотами.

Упражнение 20. Показать, что уравнение любой гиперболы с асимптотами a₁x+b₁y+c₁=0, a₂x+b₂y+c₂=0 можно записать в форме (a₁x+b₁y+c₁)(a₂x+b₂y+c₂)=c, где c=const.