Лабораторна робота №2

Тема: Обчислення ймовірності події.

Мета: Навчити використовувати формули та правила комбінаторики до обчислення ймовірності події за формулою класичної ймовірності.

Обладнання: Комп’ютер.

Теоретичні відомості

Ймовірністю випадкової події А називають відношення m — кількості подій, які призводять до появи події А, до кількості n усіх рівноможливих попарно несумісних подій, які утворюють повну групу подій під час певного випробування.

Формула класичної ймовірності випадкової події А має вигляд:

. (1)

Властивості ймовірності події. Використовуючи формулу (1), маємо:

1. P(U) = 1, бо для вірогідної події m = n;

2. P(V) = 0, бо для неможливої події m = 0;

3. 0 < P(A) < 1, бо для випадкової події 0 < m < n.

Отже, для будь-якої події А маємо 0  P(A)  1, бо m  n, m  0, n > 0.

Скінченні сукупності предметів відрізняються між собою або кількістю, або порядком розташування, або самими предметами, або порядком і складом предметів тощо. Такі сукупності називають сполуками.

Сполуки можна розглядати як множини елементів. Розділ математики, в якому вивчаються сполуки, називають теорією сполук, або комбінаторикою. У комбінаториці розглядають методи розв’язування задач, у яких йдеться про вибір і розташування елементів деякої скінченної множини. Майже завжди в комбінаторних задачах є слова «Скількома способами…?».

Взагалі, якщо дано скінченну множину , то розміщенням з n елементів по т елементів називають будь-яку впорядковану підмножину, яка містить т елементів, де m  n.

Іншими словами, будь-які два розміщення з n елементів по т елементів відрізняються між собою або складом елементів, або їх порядком.

Кількість усіх розміщень з п елементів по т елементів дорівнює добутку т послідовних натуральних чисел, найбільшим з яких є число п, тобто якщо m  n, маємо:

(1)

⁽²⁾

Будь-яку скінченну множину, яка містить n елементів, можна впорядкувати різними способами. Кожна з упорядкованих множин містить ті ж n елементів, а відрізняються множини між собою лише порядком розташування елементів. Такі впорядковані n-елементні множини називають перестановками з n елементів.

Кількість усіх перестановок з n елементів можна знайти з формули числа розміщень , якщо m = n:

·...· або ·...

Цю формулу, як правило, записують у зворотному напрямі:

. (3)

Символ n! (ен-факторіал) позначає добуток усіх натуральних чисел від 1 до n.

Використовуючи поняття n!, можна отримати інший вигляд формули для :

(4)

або . (5)

Розглянемо тепер підмножини скінченної множини, які відрізняються одна від одної тільки складом елементів, тобто такі, в яких порядок елементів значення не має. Іншими словами, розглянемо такі підмножини, кожні дві з яких мають принаймні по одному відмінному елементу. Усі такі множини називають комбінаціями.

Комбінацією з n елементів по m елементів називають будь-яку підмножину з m елементів, утворену із множини, яка містить n елементів.

Кількість усіх комбінацій з n елементів по m елементів позначають символом , де m  n.

Число всіх комбінацій з n елементів по m елементів:

. (6)

Використавши формули (1) і (2), отримаємо формулу в іншому вигляді:

. (7)

«Правило суми», можна сформулювати так: Якщо елемент a можна вибрати p різними способами, а після цього елемент b – q різними способами, причому будь-який вибір елемента а не збігається з вибором елемента b, то вибрати елемент а або b можна p + q способами.

«Правило добутку», формулюється так: Якщо елемент a можна вибрати p різними способами і при кожному виборі елемента a елемент b можна вибрати q різними способами, то вибір пари (a, b), тобто a і b, можна здійснити p ∙ q способами.

Все вище сказане можна подати такою таблицею:

1. Вибір виду сполуки і відповідної формули
Чи враховується порядок розміщення елементів?
Так		Ні
Чи всі елементи входять до сполуки?
Так	Ні
Перестановки	Розміщення	Комбінації
2. Модель
Впорядкована множина з n елементів	Впорядкована мно­жина з m різних елементів, кожний з яких вибрано з n-елементної множини.	Довільна множина з m різних елементів, кожний з яких вибрано з n-елементної множини.
3. Характеристичні ознаки
1) елементи різні; 2) усі місця зайняті; 3) порядок елементів важливий.	1) елементи і місця різні; 2) 0  m  n; 3) усі m місць зайняті; 4) порядок елементів важливий.	1) елементи різні; 2) 0  m  n; 3) порядок вибору елементів не має значення.

4. Ключові слова
n елементів роз­містити по n місцях; переставити n елементів.	З n елементів ви­брати m; розмістити по m місцях.	З n елементів вибрати m; розбити n елементів на m і (n – m) елементів.