Часть 2. Физика опасных техногенных явлений

6. Физические основы вибрации

6.1. Механические колебания

Широкое внедрение различных машин и механизмов в жизнь человека повышает производительность труда. Однако работа многих механизмов связана с возникновением вибраций, которые передаются человеку и оказывают на него вредное влияние. Все виды техники, имеющие движущиеся узлы, транспорт – создают механические колебания, приводящие к вибрации. При воздействии вибрации на человека в области резонансных частот возрастает амплитуда колебаний как всего тела, так и отдельных его органов.

Вибрация (от лат. Vibratio – колебание, дрожание) – малые механические колебания, возникающие в упругих телах, находящихся под воздействием переменного физического поля. Вибрация всегда существует там, где есть движущиеся механизмы или их детали.

В более узком смысле под вибрацией подразумевают механические колебания частотного диапазона 1,6 – 1000 Гц, оказывающие ощутимое влияние на человека. По своим физическим характеристикам вибрация мало отличается от шума. Понятие вибрации тесно связано с понятиями шум, инфразвук, звук.

Источником вибраций является разное производственное оборудование. Причина появления вибрации: неуравновешенное силовое воздействие. Вредные воздействия вибраций на человека проявляются как повреждения различных органов и тканей; влияние на центральную нервную систему; влияние на органы слуха и зрения; повышение утомляемости. Наиболее вредной является вибрация, обусловленная резонансом и близкая к собственной частоте человеческого тела (6-8 Гц) и рук (30-80 Гц).

Рассмотрим физические основы вибрации как колебательного движения.

Вибрация – вынужденные колебания тела, при которых либо все тело колеблется как единое целое, либо колеблются его отдельные части с различными амплитудами и частотами.

В данном параграфе мы рассмотрим виды колебаний:

– гармонические колебания.

– свободные колебания. Незатухающие и затухающие колебания.

– вынужденные колебания.

Колебаниями называют процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. Повторяющиеся процессы непрерывно происходят внутри любого живого организма, например: сокращения сердца, работа легких; мы дрожим, когда нам холодно; мы слышим и разговариваем благодаря колебаниям барабанных перепонок и голосовых связок; при ходьбе наши ноги совершают колебательные движения. Колеблются атомы, из которых мы состоим. Мир, в котором мы живем, удивительно склонен к колебаниям.

В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электрические и т.п. В настоящей лекции рассматриваются механические колебания.

Периодическими называют такие колебания, при которых все характеристики движения повторяются через определенный промежуток времени.

Для периодических колебаний используют следующие характеристики:

– период колебаний Т, равный времени, в течение которого совершается одно полное колебание;

– частота колебаний ν, равная числу колебаний, совершаемых за одну секунду (ν = 1/Т);

– амплитуда колебаний А, равная максимальному смещению от положения равновесия.

Гармонические колебания. Особое место среди периодических колебаний занимают гармонические колебания. Их значимость обусловлена следующими причинами. Во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническому, и, во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

Гармонические колебания – это колебания, при которых наблюдаемая величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса:

В математике функции этого вида называют гармоническими, поэтому колебания, описываемые такими функциями, тоже называют гармоническими.

Положение тела, совершающего колебательное движение, характеризуется смещением относительно равновесного положения. В этом случае величины, входящие в формулу (1.1), имеют следующий смысл:

Х – смещение тела в момент времени t;

А – амплитуда колебаний, равная максимальному смещению;

ω – круговая частота колебаний (число колебаний, совершаемых за 2π секунд), связанная с частотой колебаний соотношением

φ = (ωt+φ₀) – фаза колебаний (в момент времени t);

φ₀ – начальная фаза колебаний (при t = 0).

Рис. 6.1. Графики гармонических колебаний

Свободные колебания. Незатухающие и затухающие колебания

Свободными или собственными называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе, после того как она была выведена из положения равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити. Для того чтобы вызвать колебания, нужно либо толкнуть шарик, либо, отведя в сторону, отпустить его. При толчке шарику сообщается кинетическая энергия, а при отклонении – потенциальная.

Свободные колебания совершаются за счет первоначального запаса энергии. Свободные колебания могут быть незатухающими только при отсутствии силы трения. В противном случае первоначальный запас энергии будет расходоваться на ее преодоление, и размах колебаний будет уменьшаться.

В качестве примера рассмотрим колебания тела, подвешенного на невесомой пружине, возникающие после того, как тело отклонили вниз, а затем отпустили (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Колебания тела на пружине

Со стороны растянутой пружины на тело действует упругая сила F, пропорциональная величине смещения х:

Постоянный множитель k называется жесткостью пружины и зависит от ее размеров и материала. Знак «-» указывает, что сила упругости всегда направлена в сторону, противоположную направлению смещения, т.е. к положению равновесия.

При отсутствии трения упругая сила (1.4) – это единственная сила, действующая на тело. Согласно второму закону Ньютона (ma = F):

После переноса всех слагаемых в левую часть и деления на массу тела (m) получим дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии трения:

Величина ω₀ оказалась равной циклической частоте. Эту частоту называют собственной.

Таким образом, свободные колебания при отсутствии трения являются гармоническими, если при отклонении от положения равновесия возникает упругая сила.

Собственная круговая частота является основной характеристикой свободных гармонических колебаний. Эта величина зависит только от свойств колебательной системы (в рассматриваемом случае – от массы тела и жесткости пружины). В дальнейшем символ ω₀ всегда будет использоваться для обозначения собственной круговой частоты (т.е. частоты, с которой происходили бы колебания при отсутствии силы трения).

Амплитуда свободных колебаний определяется свойствами колебательной системы (m, k) и энергией, сообщенной ей в начальный момент времени.

При отсутствии трения свободные колебания, близкие к гармоническим, возникают также и в других системах: математический и физический маятники (рис. 6.3).

Рис. 6.3.Математический маятник (а), физический маятник (б)

Математический маятник – небольшое тело (материальная точка), подвешенное на невесомой нити (рис. 3.3 а). Если нить отклонить от положения равновесия на небольшой (до 5°) угол α и отпустить, то тело будет совершать колебания с периодом, определяемым по формуле

где L - длина нити, g - ускорение свободного падения.

Физический маятник – твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси. На рисунке 3.3 б схематически изображен физический маятник в виде тела произвольной формы, отклоненного от положения равновесия на угол α. Период колебаний физического маятника описывается формулой

где J - момент инерции тела относительно оси,

m - масса,

h - расстояние между центром тяжести (точка С) и осью подвеса (точка О).

Момент инерции – это величина, зависящая от массы тела, его размеров и положения относительно оси вращения. Вычисляется момент инерции по специальным формулам.

Свободные затухающие колебания.

Силы трения, действующие в реальных системах, существенно изменяют характер движения: энергия колебательной системы постоянно убывает, и колебания либо затухают, либо вообще не возникают.

Сила сопротивления направлена в сторону, противоположную движению тела, и при не очень больших скоростях пропорциональна величине скорости:

Рис. 6.4. График затухающих колебаний

В качестве характеристики степени затухания используют безразмерную величину, называемую логарифмическим декрементом затухания λ. Логарифмический декремент затухания равен натуральному логарифму отношения амплитуды предыдущего колебания к амплитуде последующего колебания.

где i - порядковый номер колебания.

Нетрудно видеть, что логарифмический декремент затухания находится по формуле

Сильное затухание. При выполнении условия β ≥ ω₀ система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. Такое движение называется апериодическим. На рисунке 6.5 показаны два возможных способа возвращения в положение равновесия при апериодическом движении.

Рис. 6.5. Апериодическое движение

Вынужденные колебания, резонанс. Свободные колебания при наличии сил трения являются затухающими. Незатухающие колебания можно создать с помощью периодического внешнего воздействия.

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодической силы (ее называют вынуждающей силой).

Пусть вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону

График вынужденных колебаний представлен на рис. 6.6.

Рис. 6.6. График зависимости смещения от времени при вынужденных колебаниях

Видно, что амплитуда вынужденных колебаний достигает установившегося значения постепенно. Установившиеся вынужденные колебания являются гармоническими, а их частота равна частоте вынуждающей силы:

Амплитуда (А) установившихся вынужденных колебаний находится по формуле:

Резонансом называется достижение максимальной амплитуды вынужденных колебаний при определенном значении частоты вынуждающей силы.

Если условие (1.18) не выполнено, то резонанс не возникает. В этом случае при увеличении частоты вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает, стремясь к нулю.

Графическая зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания (β₁ > β₂ > β₃) показана на рис. 6.7. Такая совокупность графиков называется резонансными кривыми.

Рис. 6.7. Резонансные кривые

В некоторых случаях сильное возрастание амплитуды колебаний при резонансе является опасным для прочности системы. Известны случаи, когда резонанс приводил к разрушению конструкций. Сразу же вспоминается история о разрушении моста ротой марширующих солдат строевым шагом. Или раскачивание на качелях за счёт незначительных усилий, прикладываемые в нужный момент.

Сопоставление колебательных процессов. Энергия незатухающих гармонических колебаний

В таблице 6.1 представлены характеристики рассмотренных колебательных процессов

Таблица 6.1. Характеристики свободных и вынужденных колебаний

На рис. 6.8. представлены Колебательные явления различной физической природы.

Рис. 6.8. Колебательные явления различной физической природы