Умовні висловлення

1. Нехай р, q і r позначають наступні висловлення:

р : Він купить комп'ютер,

q : Він буде святкувати всю ніч,

r : Він виграє в лотерею.

Запишіть наступні висловлення у вигляді символічних виразів:

а) Якщо він виграє в лотерею, він купить комп'ютер і буде святкувати всю ніч.

б) Якщо він не купить комп'ютер, то й святкувати всю ніч не буде.

в) Якщо він виграє в лотерею, то буде святкувати всю ніч й якщо він не виграє в лотерею, то не купить комп'ютер.

г) Якщо він не виграє в лотерею або не купить комп'ютер, то святкувати всю ніч не буде.

2. Нехай р, q і r позначають наступні висловлення:

Він читає комікси.

Він любить наукову фантастику.

Він - вчений-інформатик.

Запишіть наступні висловлення у вигляді символічних виразів:

а) Якщо він читає комікси і любить наукову фантастику, то він - вчений-інформатик.

б) Якщо він не читає комікси і не любить наукову фантастику, то він не є вченим- інформатиком.

в) Якщо він читає комікси, то він любить наукову фантастику і якщо він не читає комікси, то він - вчений-інформатик.

г) Якщо він - вчений-інформатик, то він читає комікси або він не любить наукову фантастику.

3. Позначимо через Р вислів: «троянди червоні», а через Q «фіалки сині». Запишіть кожне з наступних висловлень: (а) якщо троянди не червоні, то фіалки не сині; (б) троянди червоні або фіалки не сині; (в) або троянди червоні, або фіалки сині (але не одночасно) як логічний вираз. Використовуючи таблиці істинності, доведіть логічну еквівалентність висловлювань (а) і (б).

4. Нехай р, q і r позначають наступні висловлення:

р : Йому подобаються фіолетові краватки,

q : Він популярний,

r : У нього дивні друзі.

Запишіть наступні символічні вирази у вигляді висловлень:

а) (р  q) → r;

б) q → ~r;

в) p → (q  r);

г) (р → ~q)  (q →r).

5. Нехай р, q і r позначають наступні висловлення:

р : Він щасливий,

q : Він популярний,

r : Він багатий.

Запишіть наступні символічні вирази як висловлення:

а) ~(p → q);

б) (p  r) → q;

в) q ↔ (р  r);

г) (р → q)  (~r → (~p  ~q)).

6. Побудуйте таблиці істинності для наступних виразів:

а) (р → q) → r;

б) р → (q → r);

в) q → (p  r) ↔ ((q → р)  (q → r));

г) ((р → q)  r) → (~р  ~q).

7. Побудуйте таблиці істинності для наступних виразів:

а) (р → q) → (q → r);

б) (р → q)  ~(r  q);

в) (р  r) → (р  q);

г) ~((p → q)  ~r) → (p  ~r);

д) ((p → q)  ~(r  p) → (~р  ~q).

8. Побудуйте таблиці істинності для наступних виразів:

а) (р → q) ↔ (~q → ~р);

б) (р  ~(q  ~r)) ↔ (р → q);

в) (p  r) → q;

г) ((р → q)  (q → r)) → (r → р);

д) ((p  (q  r) ) → ((p  q)  (p  r)).

9. Побудуйте таблиці істинності для наступних виразів:

а) (~(p  ~ r)  q) → (q  r);

б) ~((р  ~q)  r) ↔ (r → q);

в) (~(р → q)) → (q → r);

г) (p  q)  (p → r);

д) ((p  r) → q) → ((р → q)  (р → r)).

Еквівалентні висловлення

1. Використовуючи таблиці істинності, доведіть наступні еквівалентності:

1. Закон де Моргана

~(p  q)≡ ~p  ~q.

2. Властивість асоціативності зв'язки 

р  (q  r)≡ (р  q)  r .

3. Властивість дистрибутивності зв'язки або відносно і

р  (q  r) ≡ (р  q)  (р  r).

4. Еквівалентність імплікації й висловлення зі зв'язкою або

р → q ≡ ~р  q .

2. Використовуючи логічно еквівалентні висловлення й не застосовуючи безпосередньо таблиці істинності, покажіть, що

1. р ≡ ~(р  s ) → (~s  р).

2. ~(р ↔ q) ≡ (р  ~q)  (q  ~р).

3. Перетворіть наступні висловлення до виду якщо р, то q:

1. Він кентавр, тільки якщо він має шість ніг.

2. Щоб бути процвітаючим політиком, потрібно бути обраним.

3. Достатньо мати гроші, щоб бути популярним.

4. Дано висловлення Якщо я голосую, то я гарний громадянин.

1. Сформулюйте конверсію цього виразу.

2. Сформулюйте інверсію цього виразу.

3. Сформулюйте контрапозицію цього виразу.

5. Дано висловлення Якщо я не буду виплачувати позичку, у мене відберуть ділянку.

1. Сформулюйте конверсію цього висловлення.

2. Сформулюйте інверсію цього висловлення.

3. Сформулюйте контрапозицію цього висловлення.

6. Покажите, что высказывание (Р => Q) => R логически экви­валентно высказыванию ((не Р) => R) и (Q => R).

7. Визначте, чи являється кожна з наступних форм тавтоголією, протиріччям або ні тим ні іншим:

а) p ↔(p  p)

(p → q) →((q → r) → (p → r))

((p → q)  q ) →p

(~p) →(p  q)

p  (~(p  q))

(p → q) ↔ ((~p)  q)

(p → q) ↔ ~(p  (~q))