14

Практична робота 1

Тема: Таблиці істинності, логіка, доведення

Мета:   

- ознайомитись з основами математичної логіки, - визначити, як вона використовується в інформатиці, - розглянути методи аналізу і доведення математичних тверджень.

- навчитися використовувати карти Карно для спрощення диз’юнктивних форм

- навчитися будувати комутаційні схеми для булевих виразів та навпаки, булеві вирази по даній комутаційній схемі.

Короткі теоретичні відомості

Висловлення та логічні зв’язки

Висловлення - це твердження або розповідне речення, щодо змісту якого можна сказати, що воно істинне (правильне) або хибне (неправильне).

Висловлення бувають прості та складені.

Таблиця істинності перераховує всі можливі комбінації істинності й хибності складених висловлень.

P	Q				→	↔		
1	1	1	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	1	0	0	1	1
0	1	0	1	1	1	0	1	1
0	0	0	0	0	1	1	1	0

Пріоритет виконання операцій.

Операції виконуються у наступній послідовності: ~, , , → і ↔.

Властивості логічних зв’язок

Властивості ассоціативності:	p  (q  r) ≡ (p  q)  r; p  (q  r) ≡ (p  q)  r
Властивості дистрибутивності:	p  (q  r) ≡ (p  q)  (p  r); p  (q  r) ≡ (p  q)  (p  r).
Властивості комутативності	p  q ≡ q  p; p  q ≡ q  p.
Закони ідемпотентності:	p  p ≡ p; p  p ≡ p.
Закон подвійного заперечення:	~ (~p)≡ p
Закон контрапозиції	p → q ≡ ~q → ~р
Закони де Моргана	~ (p  q) ≡ ~p  ~q; ~ (p  q) ≡ ~p  ~q.
Закони нуля та одиниці	p  T ≡ p p  F ≡ F p  T ≡ T p  F ≡ p
Закони протиріччя та виключеного третього	p  ~ p ≡ F p → p ≡ T p  ~ p ≡ T
Інші корисні властивості	p → q ≡ ~p  q; p ↔ q ≡ (р → q)  (q → р).

Тавтологією, або логічно істинним висловленням називається висловлення, істинне у всіх випадках; висловлення, хибне у кожному випадку, називається логічно хибним або протиріччям.

Аксіоматичні системи: умовиводу і доведення

Умовивід складається із сукупності тверджень, названих гіпотезами, і твердження, названого висновком.

Доведення – це послідовність тверджень, кожне з яких істинне через одну з наступних причин:

а) за припущенням;

б) за аксіомою або означенням;

в) за раніше доведеною теоремою або лемою;

г) виведено з попередніх тверджень;

д) логічно еквівалентно попередньому твердженню

Правила виведення:

а) Правило відокремлення (Modus Ponens)

	p → q
	p
\	q

б) Силогізм

	p → q
	q → r
\	p → r

в) Modus Tollens

	p → q
	q
\	p

г) Розширення

	p
\	p  q

д) Спеціалізація

	p  q
	p

е) Кон'юнкція

	p
	q
	p  q

ж) Вибір

	р
	р → (r  s)
	r → q
	s → q
	q

з) Виключаючий вибір

	p  q
	р → (r  ~r)
	q

и) Зведення до абсурду (Reductio ad Absurdum)

	р → (r  ~r)
	p

Нехай p₁,p₂,р₃,…,р_n — прості висловлення. Назвемо вираз х₁ Ù х₂ Ù x₃ Ù … Ù х_n, в якому х_i = р_i або x_i = ~p_i, елементарною кон'юнкцією. Вираз, що є диз'юнкцією елементарних кон'юнкцій, називається диз'юнктивною нормальною формою, так що якщо m₁, m₂, m₃, ..., m_n є елементарні кон'юнкції, тоді m₁  m₂  m₃  …  m_n є диз'юнктивна нормальна форма.

Нехай р₁,p₂,p₃,…,p_n прості висловлення. Назвемо вираз x₁Úx₂Úх₃Ú…Úх_n у якому х_і = р_і або р_і елементарною диз’юнкцією. Вираз, що є кон’юнкцією елементарних диз’юнкцій, називається кон’юнктивною нормальною формою, так що, якщо т₁,т₂,т₃,…,т_n елементарні диз’юнкції, то т₁Ùт₂Ùт₃Ù…Ùт_n є кон’юнктивна нормальна форма.