Основные теоремы о пределах

Пусть f(x) и φ(x) – функции, для которых существуют пределы при x→x₀(∞): f(x)=A и φ(x)=B.

Теорема 1. Функция не может иметь более одного предела при x→x₀(∞).

Теорема 2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е. (f(x)φ(x))=AB.

Теорема 3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е. (f(x)φ(x))=AB. В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е. (c f(x))=c A.

Теорема 4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел делителя отличен от нуля, т.е. f(x)/φ(x)=A/B (B≠0).

Теорема 5. Если f(u)=A, u(x)=u₀, то предел сложной функции f(u(x))=A.

Теорема 6. Если в некоторой окрестности точки x₀ (или при достаточно больших x) f(x)<φ(x)), то f(x)≤ φ(x).

Замечание. В теоремах о пределах предполагается существование пределов функций f(x) и φ(x), из чего следуют заключения о значениях пределов суммы, произведения или частного функций. Однако из существования предела суммы, произведения или частного функций не следует, вообще говоря, существование пределов самих слагаемых, множителей или делимого и делителя.

Признак существования предела функции. Если в некоторой окрестности точки x₀ (или при достаточно больших значениях аргумента x) функция f(x) заключена между двумя функциями φ(x) и ψ(x), имеющими одинаковый предел A при x→x₀(∞), то функция f(x) имеет тот же предел A.

Замечательные пределы

Первым замечательным пределом называется .

Числом (вторым замечательным пределом, число Эйлера) называется предел числовой последовательности . Число является иррациональным и приближенно равняется . Также и .

График функции получил название экспоненты. Логарифм по основанию , называется натуральным.

Непрерывность функции

Ф ункция y=f(x) называется непрерывной в точке x₀ если она определена в точке x₀, имеет конечный предел в точке x₀ и этот предел равен значению функции в точке , т.е. f(x)=f(x₀).

Непрерывность функции в данной точке выражается непрерывностью ее графика при прохождении данной точки.

Можно сформулировать еще одно определение непрерывности.

Д адим аргументу x приращение Δx. Тогда функция y=f(x) получит приращение Δy=f(x₀+Δx)–f(x₀), определяемое как разность наращенного и исходного значений функции. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x₀, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое определение функции, т.е. Δy=0.

Т очка x₀ называется точкой разрыва функции y=f(x), если эта функция в данной точке не является непрерывной. Различают точки разрыва первого рода (когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при x→x₀, не равные друг другу) и точки разрыва второго рода (когда хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует). К точкам разрыва первого рода также относят точки устранимого разрыва, когда предел функции при существует, но не равен значению функции в этой точке.

Свойства функций, непрерывных в точке

• Если функции f(x) и φ(x) непрерывны в точке x₀, то их сумма f(x)φ(x), произведение f(x)φ(x) и частное f(x)/φ(x) (при условии что φ(x₀)≠0) являются функциями, непрерывными в точке x₀.

• Если функции y=f(x) непрерывна в точке x₀ и f(x₀)>0, то существует такая окрестность точки x₀, в которой .

• Если функции y=f(u) непрерывна в точке u₀, а функция u=φ(x) непрерывна в точке u₀=φ(x₀), то сложная функция y=f(φ(x)) непрерывна в точке x₀., т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Функция y=f(x) называется непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Все элементарные функции непрерывны на всей своей области определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

I теорема Вейерштрасса Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она ограничена на этом отрезке.
II теорема Вейерштрасса Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений
Теорема Больцано-Коши Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и значения ее на концах отрезка имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка ξ[a; b] такая, что f(ξ)=0.

10

Пределы и непрерывность