Элементарные функции

К основным элементарным функциям относят:

• степенную функцию y=xⁿ; y=x^–n и y=x^1/n;

• показательную функцию y=a^x;

• логарифмическую функцию y=log_ax;

• тригонометрические функции y=sin x, y=cos x, y=tg x и y=ctg x;

• обратные тригонометрические функции y= arcsin x, y=arccos x, y=arctg x и y=arcctg x.

Из основных элементарных функций новые функции могут быть получены при помощи алгебраических действий и суперпозицией функций.

Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций суперпозиции, называются элементарными.

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:

• целая рациональная функция (многочлен или полином)

• дробно-рациональная функция (отношение двух многочленов)

• иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К числу трансцендентных функций относятся показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.

Предел числовой последовательности

Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определенное число a_n, то говорят, что задана числовая последовательность {a_n}, n=1,2,… Числа a₁, a₂, …, a_n называются членами или элементами последовательности, а число a_n – общим или n-ым членом данной последовательности.

Число A называется пределом числовой последовательности {a_n}, n=1,2,…, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε найдется номер N=N(ε), что для всех членов последовательности с номерами n, большими чем N, будет справедливо неравенство |a_n–A|<ε. Другими словами, для достаточно больших номеров члены последовательности по абсолютной величине отличаются от величины предела последовательности как угодно мало.

Предел числовой последовательности обозначается a_n=A или a_n→A при n→∞. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

С использованием кванторов определение предела числовой последовательности переписывается следующим образом:

.

Р асположим члены последовательности a₁, a₂, …, a_n,… на числовой прямой. Неравенство |a_n–A|<ε равносильно двойному неравенству A–ε<a_n<A+ε, соответствующего попаданию членов последовательности a_n в ε-окрестность точки A.

Тогда число A есть предел числовой последовательности {a_n}, n=1,2,…, если для любого ε>0 найдется номер N, начиная с которого (при n>N) все члены числовой последовательности будут заключены в ε-окрестности точки A, какой бы узкой она не была. Вне ε-окрестности может быть лишь конечное число членов данной последовательности.

Признак существования предела числовой последовательности. Если числовая последовательность {a_n}, n=1,2,… монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Предел функции в бесконечности и в точке

Число A называется пределом функции y=f(x) при x, стремящемся к бесконечности, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε>0 найдется такое положительное число S=S(ε), зависящее от ε, что для всех x таких, что |x|>S, верно неравенство |f(x)–A|<ε.

Такой предел функции обозначается f(x)=A или f(x)→A при x→∞.

С использованием кванторов данное определение переписывается следующим образом:

.

С мысл определения аналогичен смыслу предела числовой последовательности: при достаточно больших по модулю значениях аргумента значения функции f(x) как угодно мало отличаются от числа A по абсолютному значению. Иными словами, число A есть предел функции y=f(x) при x→∞, если для любого ε>0 найдется такое число S>0, что для всех x таких, что |x|>S, соответствующие ординаты графика функции y=f(x) будут заключены в полосе A–ε<f(x)<A+ε, какой бы узкой эта полоса ни была.

Данное определение справедливо при неограниченном возрастании аргумента функции по абсолютной величине. Можно также сформулировать определения предела функции при стремлении аргумента к бесконечности определенного знака:

1) - стремление аргумента к ;

2) - стремление аргумента к .

Допустим теперь, что функция y=f(x) задана в некоторой окрестности точки x₀ кроме, может быть, самой точки x₀.

Число A называется пределом функции y=f(x) при x, стремящемся к x₀ (или в точке x₀), если для любого сколь угодно малого положительного числа ε>0 найдется такое положительное число δ=δ(ε)>0, зависящее от ε, что для всех x≠x₀ и удовлетворяющих условию |x–x₀|<δ выполняется неравенство |f(x)–A|<ε.

Такой предел функции обозначается f(x)=A или f(x)→A при x→x₀.

С использованием кванторов данное определение записывается следующим образом:

.

Смысл определения предела функции y=f(x) в точке x₀ состоит в том, что при всех значениях x, достаточно близких к x₀, значения функции f(x) как угодно мало отличаются от числа A по абсолютной величине. Число есть предел функции y=f(x) при x→x₀, если для любого ε>0 найдется такая δ-окрестность точки x₀, что для всех x≠x₀ из этой окрестности (x₀–δ<x<x₀+δ) соответствующие ординаты графика функции f(x) будут заключены в полосе A–ε<f(x)<A+ε, какой бы узкой эта полоса ни была.

Замечание 1 Определение предела функции в точке не требует существования самой функции в самой точке x₀, поскольку рассматривает значения x≠x₀ в некоторой окрестности точки x₀. Другими словами, рассматривая f(x), мы предполагаем, что x стремится к x₀, но не достигает значения x₀. Поэтому наличие или отсутствие предела при x→x₀ определяется поведением функции в окрестности точки x₀, но не связано со значением функции или его отсутствием в самой точке x₀.

Замечание 2 Если при стремлении x₀ переменная x принимает значения только меньше или только больше x₀, и при этом функция стремится к некоторому числу A, то говорят об односторонних пределах функции f(x) соответственно слева f(x)=A и справа f(x)=A. Определения этих пределов в терминах кванторов переписываются следующим образом:

1) (предел слева) и

2) (предел справа).

При этом если f(x)= f(x)=A, то f(x)=A.