Содержание темы «Первообразная функции и интеграл»

Понятие первообразной функции.

Определение первообразной, основное свойство первообразной

Правила нахождения первообразных.. Таблица первообразных.

Таблица первообразных, правила интегрирования. Нахождение первообразных функции в случаях, непосредственно сводящихся к применению таблицы первообразных и правил интегрирования

Понятие интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.

Понятия: интеграла, подынтегральной функции, переменной интегрирования; обозначение интеграла;

Формула Ньютона-Лейбница

Метод замены переменных

Нахождение интегралов методом замены переменных

Метод интегрирования по частям

Нахождение интегралов методом интегрирования по частям

Задача о площади криволинейной трапеции.

Определение криволинейной трапеции, формула вычисления площади криволинейной трапеции

Вычисление площадей фигур с помощью интеграла.

Нахождение площадей фигур, ограниченных графиками различных функций

8. Основные сведения из теории

8.1.Определение первообразной

Определение: Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на промежутке х , если для любого х из этого промежутка выполняется равенство

F ′(x)=f(х)

Обозначение: Если f(х)-функция, то F(x) – её первообразная

Определение: Операция вычисления первообразной называется интегрированием.

Теорема: Если F(х) – первообразная для функции f(х) на промежутке х, то у функции f(х) существует бесконечно много первообразных, и все эти первообразные имеют вид F(х) +С, где С- произвольная постоянная (число).

8.2. Таблица первообразных

№	Функция f(х)	Первообразная F(х)
1	к (где к – число)	к∙х+С
2	хр (р≠-1)
3	(х>0)	lnx +C
4	ех	ех+С
5	sinx	-cosx+C
6	cosx	sinx+C
7	ах
8
9

8.3 Правила нахождения первообразных

1. Если F(х) первообразная для функции f(х) , а G(х) – первообразная для функции g(х) , то F(х)+ G(х) первообразная для f(х) +g(х);

2. Если F(х) первообразная для функции f(х) и к- постоянная, то к∙F(х) первообразная для к∙f(х);

3. Если F(х) первообразная для функции f(х) и к,b – постоянные, причём к≠0, то ∙F(кх+b)- первообразная для f(кх+b).

8.4. Понятие интеграла

Обозначение:

(читается: интеграл от а до в эф от икс дэ икс)

Числа а, в, называются пределами интегрирования

8.5. Формула Ньютона – Лейбница:

Т.е. для вычисления интеграла необходимо:

1. найти первообразную;

2. подставить в первообразную число в;

3. поставить знак -;

4. подставить в первообразную число а;

5. вычислить.