4.2.2. Теория очередей

Основы знаний об очередях, иногда называемые теорией очередей или теорией массового обслуживания, составляют важную часть теории управления производством. Анализ очередей в терминах длины очередей, среднего времени ожидания и других факторов помогает нам лучше понять системы обслуживания.

Менеджер оценивает изменения, возникающие в затратах, связанных с обеспечением хорошего обслуживания, и в затратах, связанных с ожиданием в очереди клиента или машины. Он может предложить увеличить время ожидания, если соблюдается баланс между количеством продаж и затратами на обслуживание покупателей. Его задача – организовать такое обслуживание, чтобы покупатель не ушел без покупки и, если купил то не потерял бы охоту вернуться еще раз.

Характеристика систем массового обслуживания. Рассмотрим три элемента систем массового обслуживания:

1. появление заявок на входе в систему;

2. порядок прохождения очереди, или собственно система обслуживания;

3. средства обслуживания.

Характеристика входа. Входной источник, который генерирует поступление заявок в систему обслуживания, имеет три основные характеристики: число заявок на входе, режим поступления заявок в систему обслуживания и поведение клиентов.

Число заявок на входе. Число заявок (размер популяции) может считаться либо неопределенным (бесконечным), либо ограниченным (конечным). Если число клиентов, поступивших на вход от начала до любого заданного момента времени, является лишь малой частью потенциально возможного их числа, популяция на входе рассматривается как неограниченная, или бесконечная. На практике примерами неограниченных популяций могут служить автомобили, проходящие через пропускные пункты на скоростных дорогах, покупатели в супермаркете. Многие модели очередей рассматривают на входе такие неограниченные популяции.

Режим поступления в систему. Клиенты приходят в систему обслуживания в соответствии с определенным графиком (например, один пациент каждые пятнадцать минут, один студент на экзамене каждые полчаса) или появляются случайным образом.

Поступления клиентов считаются случайными, если они независимы друг от друга и точно не предсказуемы. Часто в задачах массового обслуживания число поступлений в единицу времени может быть оценено с помощью распределения вероятностей, известного как пуассоновское. При заданном темпе поступления (например, два клиента в час или четыре грузовика в минуту) дискретное распределение Пуассона описывается следующей формулой

для х=0,1,...4, где

р(х) – вероятность х заявок;

х – число заявок в единицу времени;

z – средний темп поступления заявок;

е = 2,7183 (основание натурального логарифма).

Соответствующие вероятности нетрудно определить с помощью таблицы пуассоновского распределения. Если средний темп поступления заявок два клиента в час, то вероятность того, что в течение часа не будет ни одной заявки, равна 0,13, вероятность появления одного клиента – около 0,27, вероятность поступления двух заявок – около 0,27, три клиента в течение часа могут с вероятностью 0,18, четыре – с вероятностью около 0,09 и т. д. Вероятность того, что будет 9 или более заявок, близка к нулю. Вероятность появления заявок, близка к нулю. Вероятности появления клиентов, разумеется, не всегда подчиняются пуассоновскому распределению (они могут иметь какое-то другое распределение), и для того, чтобы убедиться, что пуассоновское распределение может служить хорошей аппроксимацией, следует проводить предварительные исследования.

Поведение клиентов. Большинство моделей очередей основывается на предположении, что каждый появляющийся клиент (человек или машина), вставший в очередь, ждет до тех пор, пока он не будет обслужен, и не переходит из одной очереди в другую. Жизнь значительно сложнее. На практике клиенты могут покинуть очередь потому, что она оказалась слишком длинной. Может возникнуть и другая ситуация – клиенты дожидаются своей очереди, но по каким - то причинам уходят не обслуженными. Эти случаи также являются предметом теории массового обслуживания, однако здесь не рассматриваются.

Характеристики очереди. Очередь является вторым компонентом теории массового обслуживания. Длина очереди может быть либо ограниченной, либо неограниченной. Очередь ограничена, если она по каким-либо причинам (например, из-за физических ограничений) не может увеличиваться до бесконечности. Это может быть, например, очередь в небольшую парикмахерскую, которая имеет ограниченное число мест для ожидания.

Рассматриваемые в данном разделе модели массового обслуживания исходят из предположения неограниченности длины очереди. Длина очереди не ограничена, если она может включать в себя сколько угодно клиентов. Например, очередь автомобилей на бензоколонке.

Вторая характеристика очередей – дисциплина очереди. Эта характеристика связана с правилом, в соответствии с которым обслуживаются клиенты. Большинство систем используют правило: первым пришел – первым ушел. В некоторых случаях, например в приемном покое больницы, в дополнение к этому правилу могут устанавливаться различные приоритеты. Пациент с инфарктом в критическом состоянии будет иметь приоритет в обслуживании по сравнению с пациентом, сломавшим палец. Порядок пуска компьютерных программ – другой пример установления приоритетов в обслуживании.

Характеристики средств обслуживания. Третий компонент систем обслуживания – средства обслуживания. Наибольший интерес представляют следующие их свойства: 1) конфигурация системы обслуживания; 2) временной режим обслуживания.

Основные конфигурации систем массового обслуживания. Системы обслуживания часто классифицируются по числу каналов обслуживания (например, по числу парикмахеров в парикмахерской) и по числу фаз обслуживания (этапов обслуживания одного клиента). Примером одноканальной системы обслуживания могут служить банк, в котором открыто одно окошко для обслуживания клиентов, или ресторан, обслуживающий клиентов в автомобилях. Если же в банке открыто несколько окошек для обслуживания и клиент ожидает в общей очереди, какое из них освободится первым, то мы имеем дело с многоканальной системой обслуживания. Большинство банков, так же как и почтовые отделения и авиакассы, сейчас являются многоканальными системами обслуживания.

Одноканальная однофазовая система

Очередь Пункт обслуживания

0 0 0 0 0

Заявки

Однофазными являются такие системы обслуживания, в которых клиент обслуживается в одном пункте (на одном рабочем месте) и затем покидает систему. Ресторан для обслуживания автомобилистов, в котором официант получает деньги и приносит заказ в автомобиль, является примером однофазовой системы. Тоже можно сказать и об агентстве, выдающем лицензии на вождение, где агент проводит тестирование и выдает лицензию.

Одноканальная двухфазовая система

Заявки

Очередь Пункт обслуживания

0 0 0 0 0

Трехканальная однофазовая система

Очередь Пункты обслуживания

0 0 0 0 0

Заявки

Д

Очередь Пункты обслуживания

0 0 0 0

вухканальная двухфазовая система

Заявки

Однако, если в ресторане нужно сделать заказ в одном месте, оплатить его в другом и получить пищу в третьем, то мы имеем дело в многофазовой системой обслуживания. Если агентство по выдаче лицензий на вождение достаточно большое, то можно подождать в очереди для того, чтобы заполнить заявление, затем в другом месте пройти профессиональный тест и уже затем (третье место обслуживания) оплатить услуги и получить лицензию.

Распределение времени обслуживания. Режим обслуживания, так же как и режим поступления заявок, может быть либо постоянным, либо случайным. Если время обслуживания постоянно, то независимо от клиента требуется одинаковое время для обслуживания, например автомобиля. Такая ситуация может наблюдаться на автоматической мойке машин. Однако более часто встречаются ситуации, когда время обслуживания имеет случайное распределение. Во многих случаях можно предположить, что время обслуживания подчиняется экспоненциальному распределению. это предположение удобно, так же как и предположение о пуассоновском распределении числа поступающих заявок.

Параметры для оценки очередей. Модели очередей помогают менеджеру принять решения, увязывающие затраты на обслуживание с затратами, связанными с ожиданием. Наиболее часто при стоимостной оценке систем массового обслуживания используются следующие параметры:

1) среднее время, которое клиент проводит в очереди;

2) средняя длина очереди;

3) среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания (время ожидания плюс время обслуживания);

4) среднее число клиентов в системе обслуживания;

5) вероятность того, что система обслуживания окажется не занятой;

6) параметр занятости системы;

7) вероятность определенного числа клиентов в системе.

Модели систем массового обслуживания

В управлении производством можно использовать различные модели систем массового обслуживания. Опишем четыре наиболее часто встречающиеся в практике модели. Их характеристики даны в таблице 4.6

Таблица 4.6.

Модели систем массового обслуживания

Модель	Название	Пример	Число каналов	Число фаз	Темп поступ-ления заявок	Темп обслу-живания	Число клиен-тов	Порядок прохож-дения очереди
А B C D	Простая система (М/М/I) Многока-нальная (М/М/S) Равномер. обслуживание (M/D/I) Огранич. популяция	Справочное бюро магазина Кассы аэрофлота Автоматическая автомойка Самолеты маленькой авиакомпа-нии	Один Несколь-ко Один Один	Одна Одна Одна Одна	Пуассо-новское Пуассо-новское Пуассо-новское Пуассо-новское	Экспоненциальный Экспоненциальный Экспоненциальный Экспоненциальный	Неограниченное Неограниченное Неограниченное Неограниченное	FiFo FiFo FiFo FiFo

Все четыре модели имеют следующие общие характеристики:

1) пуассоновское распределение заявок;

2) правило - FiFo (первым пришел - первым ушел);

3) единственная фаза обслуживания.

Модель А: модель одноканальной системы массового обслуживания с пуассоновским входным потоком заявок и экспоненциальным временем обслуживания.

Наиболее часто встречаются задачи массового обслуживания с единственным каналом. В этом случае клиенты формируют единственную очередь, которая обслуживается одним рабочим местом. Предположим, что для систем этого типа выполняются следующие условия.

0. Заявки обслуживаются по принципу FIFO.

1. Среднее число заявок поступающих в единицу времени неизменно, хотя и является случайным процессом.

2. Темп обслуживания выше темпа поступления заявок.

3. Средний темп обслуживания известен, хотя время затрачиваемое на обслуживание клиентов различно и описывается экспоненциальным распределением вероятностей.

Формулы для описания модели А:

Число заявок в единицу времени: z

Число клиентов, обслуживаемых в единицу времени: b

Среднее число клиентов в системе

Среднее время обслуживания одного клиента в системе:

(время ожидания плюс время обслуживания).

Среднее число клиентов в очереди:

Среднее время ожидания клиента в очереди:

Параметр загруженности системы:

Вероятность отсутствия заявок в системе:

Вероятность более чем k заявок в системе:

(n - число заявок в системе).

Пример 2.

Механик автосервиса может заменить масло в трех автомобилях в течении 1 часа. Клиенты, нуждающиеся в данной услуге, приезжают в среднем по два в час, в соответствии с пуассоновским распределением. Клиенты обслуживаются в порядке прибытия, и их число не ограничено.

Решение:

z=2 машины поступают в час;

b=3 машины обслуживаются в час

- машины в среднем в системе

- среднее время обслуживания 1 клиента в системе

- машины в среднем ожидает в очереди

мин – среднее время ожидания в очереди

- процентов времени механик занят

- вероятность того, что в системе нет ни одного клиента

После того как получены основные характеристики системы обслуживания, часто бывает полезным провести ее экономический анализ. В частности, сопоставить возрастающие затраты на улучшение обслуживания и снижающие затраты, связанные с ожиданием.

Пример 3.

Владелец автосервиса установил, что затраты, связанные с ожиданием, выражаются в снижении спроса в связи с неудовлетворенностью клиентов и равны 1000 руб за час ожидания в очереди. Заработная плата механика автосервиса составляет 70 руб в час, или 560 руб в день. Определим общие затраты.

Решение:

Так как в среднем каждая машина ожидает в очереди 2/3 часа (см. предыдущую задачу) и в день обслуживается около шестнадцати машин (2 машины в час, при 8-часовом рабочем дне), общее число часов, которое проводят в очереди все клиенты, равно

Следовательно, затраты, связанные с ожиданием, составляют

руб в день

Тогда общие затраты составят:

6666,66+560 = 7226,66 руб

Модель В: многоканальная система обслуживания

В многоканальной системе для обслуживания клиентов открыты два и более каналов. Предполагается, что клиенты ожидают в общей очереди и обращаются в первый освободившийся канал обслуживания. Пример такой многоканальной однофазовой системы можно увидеть в телефон-автоматах, где клиент подходит к освободившемся телефонным аппаратам. В многоканальной системе поток заявок подчиняется пуассоновскому распределению, а время обслуживания экспоненциальному. Для расчета параметров данной системы целесообразно использовать компьютерное программное обеспечение.

Модель С: модель с постоянным временем обслуживания.

Некоторые системы имеют постоянное, а не экспоненциальное время обслуживания, тогда формулы расчета будут выглядеть следующим образом:

Средняя длина очереди:

Среднее время ожидания в очереди:

Среднее число клиентов в системе:

Среднее время ожидания в очереди:

Пример 4.

Компания «ХХХ» собирает и утилизирует бытовые отходы. Водители доставляющие вторсырье ожидают в очереди на разгрузку в среднем ¼ часа. Время простоя водителя оценивается 600 руб в час. Новый компактор может обслуживать водителей при темпе 12 машин в час (или 5 мин.на одну машину). Время прибытия водителей подчиняется пуассоновскому закону с параметром z=8 водителей в час. Если приобрести новый компактор, то амортизационные затраты составят 30 руб на одного водителя контейнеровоза. Следует принять решение приобретать ли новый компактор или нет.

Решение:

1. Определим существующие затраты (без покупки компактора):

2. Определим среднее время ожидания в очереди, если будет приобретен новый компактор:

3. Определим затраты при новом компакторе:

4. Определим чистый доход от приобретения нового компактора:

150 (существующая система) – 50 (новая система) – 30 (амортизационные затраты) = 70 руб доход с одной поездки.

Модель Д: модель с ограниченной популяцией

Если число потенциальных клиентов системы обслуживания ограничено, в данном случае, чем длиннее очередь на обслуживание, тем ниже темп поступления новых заявок. Расчеты в данной модели достаточно сложны и требуют специального программного обеспечения.