Определение напряжений и построение эпюр и в опасных сечениях

Опасным сечением для балки будет сечение, в котором изгибающий момент М_и и перерезывающая сила Q достигают своего максимального значения: М_иmax = 120 кН м;

Q_max=60 кН. Определим нормальные и касательные напряжения для сечения на рис. 3.13; для этого построим эпюры распределения напряжений по высоте сечения балки.

Нормальные напряжения определяются по формуле

Сечение сплошное в виде круга,

(наружные волокна растянуты, поэтому при М_и «-» - напряжения будут растягивающего знака).

Определяем напряжения в первой, второй и третьей точках:

Перенапряжение составляет что допустимо (до 5%) в инженерных расчетах.

Касательные напряжения определяются формулой Д.И. Журавского

Где Q –перерезывающая сила в сечении; S_y – статический момент площади сечения относительно оси y; b_(z) – ширина сечения; I_y – момент инерции относительно y.

Рис. 3.13

Определим касательные напряжения для точек 1, 2, 3 сечения круга: так как S_y = 0;

– закон распределения касательных напряжений по высоте сечения - парабола второго порядка. Эпюры распределения и см. на рис. 3.13.

Определение перемещений балки и построение эпюр прогибов

При таком виде деформаций, как плоский изгиб, возникают два перемещения: линейное - по направлению оси Z (обозначается w), а также угловое (обозначается ). Данные перемещения определяются методом начальных параметров. Дифференциальное уравнение упругой линии балки записывается следующим образом:

Для перемещений воспользуемся универсальным уравнением упругой линии балки для типовых расчетных схем:

-уравнение прогибов.

Дифференцируя это уравнение, получим универсальное уравнение поворота :

В этом уравнении w₀, – геометрические начальные параметры; М₀, Q₀ – статические начальные параметры (силы, приложенные в сечении при Х=0). Это могут быть как реакция опоры R, так и сосредоточенный внешний момент М₀.

При составлении дифференциального уравнения упругой линии балки и его интегрировании должны соблюдаться следующие правила:

1. Начало координат выбирают в крайних сечениях балки(левой или правой), и оно является общим для всех участков данной балки.

2. Выражения для изгибающего момента М(х) составляют путем вычисления моментов сил, расположенных слева (справа) от рассматриваемого сечения. Функция М(х) составляется для последнего участка.

3. При включении в уравнение внешнего сосредоточенного момента М последний умножается на множитель (х - а), где а – абсцисса приложения момента.

4. Если определенная по какому-либо закону нагрузка не дошла до последнего участка, её продлевают до конца рассматриваемого участка, а чтобы соблюдалось статическое равновесие, прикладывают компенсирующую нагрузку обратного знака. Дополнительную и компенсирующую нагрузки показывают на чертеже пунктиром.

5.Интегрирование уравнений производят без раскрытия скобок.

6. Отрицательные слагаемые в уравнении прогибов и углов поворота ((х – а_i), (х – b_i), (х – c_i) могут быть только положительными значениями) в расчете не учитывают. В универсальных уравнениях для этого используют символы И. Г. Бубнова ( Они указывают на то, что слагаемые учитываются в общей сумме, если значение х равно или превышает значение показателя символа а_i.

Таким образом, определение перемещений по методу начальных параметров сводится к получению величин начальных параметров w₀, , М₀, Q₀. Статические начальные параметры М₀ и Q₀ находят из условий статического равновесия балки, а геометрические и w₀ – из условий закрепления балки на опорах. Жесткая заделка дает значения начальных параметров: = 0 и w₀ = 0.

Однопролетная балка с двумя опорами дает такие значения:

Пример. Для балки (рис. 3.14) построить эпюру прогибов w:

]

Начальные условия: 1) x=0, w=0; 2) x=10m, w=0. С учетом этих данных уравнение прогибов запишем следующим образом:

Согласно начальным условиям (w₀ = 0):

Отсюда находим (выполнить определение самостоятельно):

Определим значение прогибов w в характерных сечениях:

Далее определим значение углов поворота в характерных сечениях:

Если произвести расчет прогибов и углов поворота для всех характерных сечений балки, можно построить эпюры прогибов w и углов поворота (см. рис. 3.14).

Контрольные вопросы и упражнения

1. Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечном сечении балки при чистом изгибе?

2. В чем различие между распределением нормальных напряжений в сечении при изгибе и растяжении?

3. В каких точках поперечного сечения напряжения при изгибе будут наибольшими?

4. Что такое «эпюра изгибающих моментов» и с какой целью ее строят?

5. Какие существуют виды сложных деформаций? Назовите для примера детали, испытывающие при работе сложные деформации.

6. Какие геометрические величины, характеризующие способность сечения сопротивляться деформациям при растяжении, кручении и изгибе, вам известны?

7. Как записываются расчетные формулы для определения максимальных действительных напряжений при растяжении, кручении и изгибе?

8. Постройте эпюры изгибающих моментов М_и и перерезывающих сил Q для балки, лежащей на двух опорах и нагруженной соответственно: сосредоточенной силой, лежащей по середине балки; равно распределенной нагрузкой; крутящим моментом, приложенным также по середине балки.

9. Постройте эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М_и для балки, жестко защемленной с одного конца и нагруженной соответсвенно сосредоточенной силой, равнораспределенной нагрузкой и крутящим моментом.

Рис. 3.14

ПРИЛОЖЕНИЯ

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ