Определение экстремального значения изгибающего момента на втором участке

отсюда

Определяем значение изгибающего момента на втором участке при :

Таким образом, на втором участке найдем экстремум функции М_иII.

Приведем значения, которые будут полезны при построении эпюр внутренних силовых факторов:

1. В сечениях под сосредоточенными силами на эпюре Q имеется скачок на величину силы, а на эпюре М_и – резкое изменение угла наклона.

2. На концевой шарнирной опоре перерезывающая сила Q равна реакции этой опоры, а изгибающий момент равен нулю, если в опорном сечении не приложена пара сил.

3. На свободном конце балки (консоли) изгибающий момент равен нулю, если там нет сосредоточенной пары сил. При отсутствии в концевом сечении консоли сосредоточенной силы поперечная сила Q также равна нулю.

4. В сечениях, где приложена пара сил, эпюра М_и имеет скачок на величину момента этой пары. На эпюре Q это не отображается.

5. Если сплошная нагрузка направлена вниз (d²M/dx² = q<0), т.е. вторая производная имеет знак «-», то эпюра М_и очерчена кривой (кривая выпукла). И, наоборот, если q>0, т.е. вторая производная со знаком «+», то эпюра М_и на этом участке имеет выпуклость вниз (кривая вогнута).

6. На участках балки, загруженной сплошной равномерно распределенной нагрузкой, эпюра М_и ограничена кривой второго порядка, а эпюра Q – прямой первого порядка.

7. Если q=0, т.е. dQ/dx=0, то Q = const. Следовательно, на участках, свободных от распределенной нагрузки по любому закону, эпюра Q ограничена прямыми нулевого порядка, эпюра М_и – прямыми первого порядка.

8. Если Q>0, т.е. то момент М_и возрастает по знаку; если Q<0, т.е. то момент М_и убывает по знаку; при Q=0, т.е. при М_и = const.

39

9. Каждая ордината эпюры поперечных сил Q=dM/dx геометрически представляет собой тангенс образуемого с осью угла наклона касательной к эпюре М_и в соответствующей точке. Подобные геометрические соотношения имеются и между эпюрами q и Q. Покажем это на примере задачи (рис. 3.11).

Подбор сечения прокатных профилей и геометрических размеров сечений других форм

Условие прочности при изгибе записывается в следующем виде:

Величина М_иmax выбирается по эпюре, при этом знак изгибающего момента не учитывается, т.е. берется модуль значения М_и:

либо

Рис. 3.11

Тогда момент сопротивления W_у (осевой момент сопротивления) определяется из условия прочности W_у=М_иmax/ .

Размерности момента сопротивления W_у – мм³, см³, м³.

Определив W_у подбираем номер сортамента, его геометрические параметры, используя таблицы сортамента, соответствующие определенному номеру ГОСТа. Подобрав профиль или группу профилей, рассчитываем характеристики различных сечений.

Для расчетной схемы (см. рис. 3.9) приведем следующие данные: а=1 м; q=10 кН/м; F=6 =60 кН; М= Материал – сталь 09Г2: опасное сечение Q=60 кН; М_иmax=12 =120

Рассмотрим типы сечений, представленные на рис. 3.12.

Соотношения h/b, t/b, заданы: h/b=1,5; t/b=0,2;

Подбор сечений двутавра осуществляется следующим образом:

– расчетный момент сопротивления.

Рис. 3.12

Используя таблицы сортамента, находим номер двутавра – 33. Геометрические размеры профиля представлены в сортаменте.

Выполним подбор сечений круглой формы:

– момент сопротивления сплошного сечения;

– момент сопротивления трубчатого сечения.

Приравнивая , находим диаметры сечений:

(диаметр сплошного сечения);

– диаметр трубчатого сечения;

Находим массу одного пог.м, предварительно округлив значения полученных диаметров:

Плотность материала Сплошное сечение Трубчатое сечение

В тех конструкциях, где необходимо иметь минимальную собственную массу, нужно взять такие материалы, у которых допускаемые напряжения имеют большие значения.

Выполним замену материала 09Г2 на материал 40Х, для которого :

Тогда Диаметр трубчатого сечения

Сравнивая массы одного пог.м, видим, что балка из материала 40Х легче на 20% по сравнению с балками, выполненными из материала 09Г2.

Выполним подбор прямоугольных сечений (см. рис. 3.12). Материал –сталь 09Г2.

Определим для коробчатого сечения:

Определим момент инерции I_y всей фигуры:

с учётом отношений

Сечение будет иметь следующие параметры:

Определим W_y для сплошного сечения:

Проанализируем массы этих сечений.

Сплошное сечение

Коробчатое сечение

Коробчатое сечение легче сплошного на