Определение значений напряжений в опасном сечении
Значения напряжений в сечении определить самостоятельно. Эпюра касательных напряжений представлена на рис. 2.8.
Рис 2.8
При согласовании эпюр Мк и следует: если идти слева направо, то там, где эпюра Мк положительна, эпюра углов закручивания возрастает по знаку; если же эпюра Мк отрицательна, то эпюра углов закручивания на этом участке убывает по знаку.
Следует отметить, что площадь эпюры крутящих моментов на участке – это числитель в формуле угла закручивания:
Поэтому для проверки можно использовать и такую запись:
Значения
площадей
,
,
определяют с учётом знаков Мк.
Контрольные вопросы и упражнения
1. Какой внутренний силовой фактор действует в сечении скручиваемого бруса?
2. В чём различия между распределениями напряжений в сечении при сдвиге и кручении?
3. От какие факторов зависит величина напряжения в определенной точке сечения при кручении?
4. В каких точках круглого бруса будут возникать наибольшие напряжения при кручении?
5. Как подсчитать действительные максимальные напряжения при кручении?
29
6. Что необходимо знать, чтобы в проектном расчёте на кручение определить требуемый диаметр вала?
7. Имея в виду неравномерное распределение напряжений при кручении по сечению и тот факт, что максимальные напряжения возникают в точках, расположенных на поверхностях валов, объясните целесообразность изготовления не сплошных, а полых валов?
8. Как различаются диаметры двух валов, рассчитанных на кручение, при передаче одинаковых мощностей, но с разными частотами вращения (n1=1000 мин1, n2 = 500 мин-1).
Тема 3. Изгиб статически определимых систем
В данном разделе рассмотрим такой вид изгиба, когда все действующие внешние силы лежат в одной плоскости (иначе её называют силовой плоскостью), которая совпадает с одной из главных плоскостей инерции балки. Такой вид изгиба называют плоским, в отличие от других более сложных видов изгиба, а именно: изгиб с растяжением-сжатием, косой изгиб, изгиб с кручением.
Основным элементом при изгибе является балка – горизонтально или слегка наклонно расположенный сравнительно плоский брус, работающий в основном на изгиб. Конструкции, работающие на изгиб, приводятся к двум типам статически определимых расчётных схем (рис. 3.1).
Если отбросить нагрузки, прикладываемые на балки, получим основные системы (рис. 3.2, где а – статически определимая однопролетная балка (двухопорная); б – статически определимая консольная балка).
Рис. 3.1
Рис. 3.2
30
Основные системы – это статически определимые системы, для которых неизвестные в виде реакций опор и реактивных изгибающих моментов определяются из уравнений статического равновесия:
Такие системы имеют необходимое и достаточное количество связей. Основные системы должны обладать свойством геометрической (кинематической) неизменяемости.
Рассмотрим, какие реакции возникают в опорах.
Шарнирно-неподвижная опора препятствует вертикальным и горизонтальным перемещениям балки. Отсюда возникают как горизонтальные, так и вертикальные составляющие реакции (R, H).
Шарнирно-подвижная опора препятствует только вертикальному перемещению. Отсюда возникает только единственная реакция – вертикальная (R).
Жесткое закрепление(заделка) препятствует как линейным, так и угловым перемещениям. Отсюда возникают R, H, M.
При плоском(поперечном) изгибе в любом сечении возникают два внутренних силовых фактора поперечная (перерезывающая) сила Q и изгибающий момент Мn. Необходимо помнить знаки данных внутренних силовых факторов.
Поперечная сила Q считается положительной, если ее векторы стремятся вращать части отсеченной балки по ходу часовой стрелки. При практическом применении удобнее правило знаков сформулировать следующим образом: если внешняя сила F стремится повернуть балку относительно произвольно рассматриваемого сечения по ходу часовой стрелки, то перерезывающая сила Q в сечении будет положительной (рис. 3.3).
Рис. 3.3
Изгибающий момент Mи считается положительным, если верхние волокна балки сжаты, и наоборот (рис. 3.4)
31
Рис. 3.4
Рассмотрим простые случаи нагружения балки внешними силами.
Задача 1. На балку действуют только сосредоточенные внешние факторы – сосредоточенная сила F и сосредоточенный изгибающий момент М (рис. 3.5).
Размерности сил представлены в общем виде:
где q [Н/м; кН/м; мН/м] – интенсивность распределения сил; а[м] – размерность длины; k = 0, 1, 2, …(положительные значения на числовой оси).
Рис. 3.5
Направление
реакций в опорах выбираем произвольным
образом. Сначала запишем
а затем
откуда
Положительное
значение
говорит о правильном направлении этой
силы.
Запишем
Тогда
32
Запишем
уравнение
В данном случае это будет проверочным
уравнением:
После
подстановки значений сил получим: 3,5qа
– 6qа+4,5qа-2qа
= 0. Это говорит о том, что реакции
определены правильно.
Применим метод сечений для определения внутренних силовых факторов Q и Ми.
Рассмотрим сечение I-I (рис. 3.6).
Рис. 3.6
Для
определения перерезывающей силы Q
запишем
Тогда
– закон изменения перерезывающей силы
на участке
На эпюре – прямая нулевого порядка,
параллельная линии отсчета.
Для
определения Ми
запишем уравнение
Тогда
где
– закон изменения Ми
на участке
На эпюре изгибающих моментов – прямая
первого порядка:
Рассмотрим сечение II-II:
–закон
изменения
на втором участке (
33
–
закон
изменения
на втором участке (
Рассмотрим сечение III-III:
–закон
изменения
на участке
– закон изменения на участке
По полученным результатам строим эпюры Q и Ми (см. рис. 3.5).
Задача 2. Определить перерезывающие силы и изгибающие моменты (рис. 3.7).
Рис. 3.7
Рассмотрим
изгиб консольной балки:
;
;
.
Рассмотрим сечение I – I (рис. 3.8)
с
учетом правила знаков
– закон
изменения
на участке
– закон
изменения изгибающего момента на
участке;
34
Рис. 3.8
Рассмотрим сечение II-II:
–
закон
изменения
на втором участке (
– закон изменения
на участке
Рассмотрим сечение III-III:
– закон
изменения
на участке
– закон изменения
на участке
Определив
получим реактивную силу RA=4qа,
направленную вниз. Определив
получим реактивный момент МR.
Таким образом, чтобы найти перерезывающую силу в произвольном сечении необходимо алгебраически просуммировать все внешние силы:
где Q – алгебраическая сумма всех сил, действующих по одну сторону сечения.
Момент изгибающий Ми равен алгебраической сумме моментов относительно рассматриваемого произвольного сечения всех сил, действующих на одну часть балки:
35
Задача
3.
Определить Q
и Ми
от действия равномерно распределенной
нагрузки и построить эпюры (рис. 3.9).
Дано: F
= 6qа,
М = 2q
Выбираем произвольно направление реактивных усилий в опорах и определяем их значения:
Запишем
проверочное уравнение:
т.е. составим уравнение моментов
относительно той точки, которая ранее
не участвовала при составлении моментов
для определения реакций:
Следовательно, значения реакций определены правильно.
Применим метод сечений для определения внутренних силовых факторов Q и Ми.
Рассмотрим сечение I – I (рис. 3.10)
–
закон
изменения
на участке
– закон
изменения
на участке
;
Рассмотрим сечение II-II:
–
закон
изменения
на участке
На эпюре Q – прямая первого порядка;
36
– закон
изменения
на втором участке (
).
На эпюре Ми
– парабола второго порядка;
Рис. 3.9
Остановимся подробнее на сечении II-II. Перерезывающая сила на участке, где действует равномерно-распределенная нагрузка (рис. 3.10), определяется следующим образом:
находим
центр тяжести прямоугольника с абсциссой
и ординатой q;
определив
площадь прямоугольника, получим
приведенную нагрузку
которая приложена в центре тяжести
данного сечения.
Для
того, чтобы определить изгибающий момент
относительно произвольного сечения,
необходимо
умножить на плечо, равное
:
37
Рис. 3.10
Рассмотрим сечение III-III:
-
закон изменения
на участке
– закон изменения
на участке
;
Рассмотрим сечение IV-IV:
– закон
измене-ния на участке
;
– закон изменения
на
участке
По данным Q и Ми строим эпюры внутренних усилий (см. рис. 3.9)
38