Тема 2. Статически определимые системы при кручении Расчёты валов круглого сечения на кручение

Рассмотрим статически определимые системы двух типов (рис. 2.1), где L₁, L₂, L₃ –внешние скручивающие моменты; m – интенсивность равномерно распределенного момента по длине. Размерность L [H·м; кН·м; мН·м]; m[H·м/м; кН·м/м; мН·м/м].

Для данных систем можно составить единственное уравнение статического равновесия, а именно:

Для систем, представленных на рис. 2.1а, неизвестной величиной является либо реактивный момент в жесткой заделке М_R, либо уравновешивающий момент L_y (рис. 2.1 б). Следовательно, системы обладают только необходимым и достаточным количеством связей и называются статически определимыми. Применяя метод сечений, определим внутренний силовой фактор при кручении, который называется крутящим моментом и обозначается М_к.

Рис. 2.1

Необходимо отметить одну особенность данного внутреннего силового фактора М_к и его отличие от внутреннего силового фактора при растяжении-сжатии N. Если нормальная сила N имеет при растяжении знак «+», при сжатии «-», то знак М_к как внутреннего силового фактора физического смысла не имеет. Принятие знака для М_к считают условным, в данном случае крутящий момент считают положительным, если при взгляде на сечение вала с конца вектора момент М_к представляется направленным по ходу часовой стрелки (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Крутящий момент М_к в произвольном поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов L_i, приложенных к валу по одну сторону от рассматриваемого сечения:

Условие прочности при кручении записывается в следующем виде:

Допускаемое напряжение определяется аналогично допускаемым напряжениям при растяжении-сжатии:

– для пластичных материалов;

– для хрупких материалов.

Допускаемые напряжения при кручении для пластичных материалов определяются соотношением , а для чугуна ,

где – допускаемое напряжение при растяжении чугуна.

Условия жёсткости при кручении имеют вид

Допускаемый угол закручивания для валов, вращающихся с малой и средней скоростью, ограничивается пределами от 0,25 ̊ до 1̊ на 1 м длины вала; для быстроходных валов (например, в турбинах) не превышает 0,1̊ на 1 м длины вала.

Связь между моментом М (Н·м), угловой скоростью вращения ω (1/с) и мощностью Р (Вт) выражается формулой:

Задача 1. Определить крутящий момент , диаметр вала d из условия прочности и условия жёсткости (рис. 2.3).

Материал – сталь конструкционная:

Проверяем, находится ли вал в состоянии статического равновесия:

Так как вал не находится в равновесии, в произвольном сечении нужно приложить уравновешивающий момент L_y (в нашем случае L_y приложен в крайнем левом сечении вала):

кН·м.