Определение нормальных напряжений в исследуемых сечениях

Приведем следующие исходные данные для задачи 1(см. рис. 1.3.): F=60 кН; А=20 .

Напряжение при растяжении-сжатии бруса определяется по формуле:

тогда

Н/м² МПа;

Н/м² МПа;

Н/м² МПа.

По полученным данным строим эпюру нормальных напряжений.

Следует отметить некоторые особенности эпюры нормальных напряжений :

11

1) эпюра ограничена прямыми, параллельными линии отсчёта;

2) в тех характерных сечениях, где приложена сосредоточенная сила или происходит изменение площади поперечного сечения, на эпюре напряжений получается скачок.

Расчёт стержневых систем на растяжение-сжатие

Реальные конструкции можно привести к некоторым расчётным схемам, которые наиболее точно оценивают работоспособность системы. Ниже будут представлены лишь некоторые из множества расчётных схем (рис 1.5).

Рис. 1.5

Проведя статический анализ системы, убеждаемся в том, что система статически определима, т.е. количество неизвестных равно количеству уравнений статического равновесия:

Для первых двух расчётных схем число неизвестных равно трём (R₀, H_0, N₁), для третьей схемы – двум (N_1, N₂); R₀, H₀ – реакции шарнирно-неподвижной опоры; N_1, N₂ – внутренние усилия в стержнях.

Если представим данные расчётные схемы без внешних нагрузок, получим основные системы (статически определимые), которые обладают необходимым и достаточным количеством связей. Любые другие системы, имеющие число стержней больше, чем представлено на рис. 1.5, будут называться статически неопределимыми, решение которых будет приводиться ниже.

Задача 2. Представим, что жёсткий недеформируемый брус АВ поддерживается двумя тягами, выполненными из различных материалов. Материал первого стержня – сталь конструкционная, материал второго – бронза. Площади поперечного сечения стержней равны между собой: А₁=А₂. Определить грузоподъёмность системы таким образом, чтобы в стержнях возникали напряжения, не превышающие допускаемых напряжений [ (рис. 1.6).

12

Рис. 1.6

Статический анализ системы

На опоре действуют два усилия: R₀ – вертикальная и Н₀ – горизонтальная составляющие реакции на опоре (рис. 1.7).

Рис. 1.7

В первом стержне возникает нормальная сила N₁, во втором – сила N₂. Всего неизвестных четыре. Уравнений статического равновесия можно записать только три. Тогда разность между количеством неизвестных и количеством уравнений статически даст число статической неопределимости:

Число статической неопределимости

Количество неизвестных

Количество уравнений статического равновесия

Материал первого стержня – сталь: σ_т = 300 МПа; σ_В =460 МПа; Е₁=2,1 10⁵ МПа, α=30̊.

Материал второго стержня - бронза: : σ_т = 180 МПа; σ_В =220 МПа; Е₁=1 10⁵ МПа, А₁=А₂=5 10^-4 м².

Для этого необходимо составить дополнительное уравнение совместности перемещений.

13

Система уравнений будет выглядеть следующим образом:

1)

2)

3)

4) уравнение совместности перемещений.

Уравнения в развернутом виде запишем только после того, как рассмотрим геометрическую сторону задачи.

Представим схему деформирования для данной системы под воздействием силы F. Брус АС займет наклонное положение АˊCˊ (рис. 1.8). Перемещения точек А, В, С – только вертикальные, угол поворота бруса на опоре О очень мал вследствие работы системы в упругой области. Тогда АˊА – перемещение точки А, δ_А= АˊА; ВˊВ – перемещение точки В, δ_В= ВˊВ. Но АˊА будет удлинением первого стержня: ∆l₁= АˊА.

Из нового положения точки В, т.е. из точки Вˊ, опустим перпендикуляр на второй стержень, обозначив пересечение перпендикуляра и стержня 2 с точкой Вˊ₂В будет удлинением стержня 2- ∆l₁= Вˊ₂В.

Рассмотрим знаки удлинений стержней: для первого стержня ∆l₁ – отрицательное; для второго стержня ∆l₂ – отрицательное. Следовательно, усилия в стержнях 1 и 2 будут сжимающими. Направления усилий представлены на рис. 1.8.

В задачах, где необходимо составлять уравнения моментов относительно опоры, следует выполнять правило соответствия усилий знакам удлинений, а именно: если удлинение стержня будет положительным, то сила N в стержне должна быть направлена на растяжение, если удлинение стержня отрицательное, то усилие N в стержне нужно направлять на сжатие.

Запишем уравнения статического равновесия:

1) Н₀ + N₂cosα = 0;

2) N₁ + R₀ + N₂sinα₂ – F = 0;

14

3) ₀ = 0; N₁a + N₂h₂ – F(b+c) = 0.

Рис.1.8

Выбор знака в уравнении моментов относительно точки О произвольный. Перейдем к составлению уравнения совместности перемещений. Для этого рассмотрим ∆ОАˊА и ∆ОВˊВ (треугольники подобны), тогда

АˊА/ВˊВ =

С учётом обозначений ААˊ = δ₁ = ∆l₁, ВˊВ = δ_В запишем

δ_1/ δ_В = 0,5(*)

Из ∆ВˊВˊ₂В находим:

∆l₁.

Подставим данные значения в уравнение перемещений (*) и получим:

– уравнение совместности перемещений (**).

Рассмотрим физическую сторону задачи. Для этого запишем по закону Гука

(∆l = N1/EA) удлинения стержней:

∆l₁ = ∆l₂ =

15

Подставим удлинения ∆l₁ и ∆l₂ в уравнение совместности перемещений (**):

Запишем значения составляющих в следующей форме:

l1	l2	h2	E1	E2	A1 = A2 м2
м МПа
1,0	2,3	1,5	2,1 1011	1,0·1011	5·10-4	0,5	0,866

Подставляя данные уравнения (**), получим:

с учётом

Переходим к совместному решению уравнений статики и уравнения

.

Подставим значение в уравнение моментов:

С учётом значений a, b, c, получим:

16

Н₀ =

Переходим к определению грузоподъёмности, т.е. того минимального значения силы F, которое получается из условия прочности при растяжении-сжатии стержней.

Допускаемые значения напряжений определяем следующим образом:

где n – коэффициент запаса прочности; для пластичных материалов при статических нагрузках n_т=1,4-1,8; для хрупких материалов при статических нагрузках n_В=2,5-3,0;

Из условия прочности для первого стержня определяем F:

Из условия прочности для второго стержня определяем F:

[F]=F_min=44,8 кН.

Значения напряжений при действии силы F=44,8 кН:

17

Таким образом, в первом стержне возникают напряжения сжатия , равные во втором стержне – сжимающие напряжения

Значения опорных реакций R₀ и H₀:

R₀

(знак « - » указывает на то, что напряжение выбрано неверно, поэтому на схеме нужно изменить направление данной силы).

Контрольные вопросы и упражнения

1. Какая существует зависимость между нормальным напряжением и относительной деформацией при растяжении (сжатии)?

2. В чём отличие деформации сжатия от деформации смятия?

3. Как определяются действительные напряжения при растяжении, сжатии и смятии?

4. Как распределены внутренние силы в поперечном сечении при растяжении(сжатии)?

5. Стержень имеет диаметр d = 1 мм; допускаемое напряжение материала Какой массы груз можно безопасно подвесить на этом стержне?

6. Какую силу нужно приложить к стальному стержню диаметром d = 12 мм и длиной l = 4 м, чтобы он удлинился на 5 мм? Какое напряжение возникает при действии этой силы?

18

7. Стальной стержень, работающий на растяжение, предполагают выполнить из стали, для которой временное сопротивление растяжению , а предел пропорциональности . Найти допускаемые напряжения при запасах прочности Какую часть от предела пропорциональности, при котором допускаемое напряжение не превышает предела пропорциональности?