Практикум по моделирование социально-экономических процессов

6

где Z - множество состояний соответствующего фрагмента памяти системы, X - множество его входов, а Y - множество его выходов. Функции такого вида в математике называются абстрактными автоматами и, если множество Z бесконечно, то и автомат называется бесконечным. Таким образом, формальным образом моделирующего алгоритма является абстрактный автомат.

Класс шкалированных автоматов эквивалентен классу всех абстрактных автоматов, но выделяется формой задания при помощи специальной алгоритмической конструкции - так называемой многозначной функциональной логической шкалы.

В частности, по схеме шкалированного автомата удобно описываются системы массового обслуживания со сложными дисциплинами функционирования и нетривиальной логикой взаимодействия элементов. Вторым достоинством шкалированных автоматов является высокая вычислительная эффективность программной реализации, поскольку последняя осуществляется в строгом соответствии с требованиями структурного программирования. Шкалированный автомат, являясь формальной семантикой моделирующего алгоритма, вычисляет функцию вида

:Z Vi mXi j p Yj Z

где Z - память автомата, m - число типов входных сигналов х автомата, ассоциируемых с типами существенных событий в системе, описываемой этим автоматом, р - число типов выходных сигналов автомата, Xi и Yj - множества входных сигналов типа - i и выходных сигналов типа - j соответственно. Предполагается, что

Xi Xk = Yj Yh = при i k, j h.

7

Сети шкалированных автоматов удобно графически изображать в виде схем взаимодействия автоматов. На рисунке 8 изображена сеть, содержащая пять шкалированных автоматов.

Рис. 8. Сеть шкалированных автоматов.

На рис. 8 вершины сети соответствуют шкалированным автоматам, а дуги - типизированным сигналам, так что между типами сигналов и номерами дуг существует взаимно-однозначное соответствие: S5 означает "сигнал типа 5". Маленькие кружки соответствуют внешней среде (их на рисунке несколько). Связи между сигналами отражены в вершинах сети. Например, в автомате, соответствующем вершине с номером 1, входной сигнал S5 вызывает появление сигнала S3, который мгновенно передается автомату с номером 2. Эти связи позволяют установить мгновенные цепные реакции, возникающие в сети. Сами связи выявляются при анализе моделирующих алгоритмов, задающих соответствующие автоматные функции.

Элементы теории массового обслуживания. Примерами систем массового обслуживания (СМО) могут служить: телефонные станции, билетные кассы, ремонтные мастерские, и т. п. Каждая такая система состоит

8

из определенного числа обслуживающих единиц, которые называются «каналами» обслуживания. В качестве каналов могут служить линии связи, лица, выполняющие те или иные операции, различные приборы и т. д. СМО могут быть как одноканальными так и многоканальными.

Работа любой СМО состоит в выполнении поступающего на нее потока требований или заявок. Заявки поступают одна за другой в некоторые, вообще говоря, случайные моменты времени. Обслуживание поступившей заявки продолжается какое-то время, после чего канал освобождается и снова готов для приема следующей заявки. Каждая СМО в зависимости от числа каналов и их производительности, обладает какой-то пропускной способностью, позволяющей ей более или менее справляться с потоком заявок.

В качестве характеристик эффективного обслуживания могут применяться: средний процент заявок, получающих отказ и покидающих систему необслуженной, среднее время простоя отдельных каналов и системы в целом, среднее время ожидания в очереди, вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию, закон распределения длины очереди и т. п.

СМО представляет собой физическую систему дискретного типа, с конечным (или счетным) числом состояний, а переход системы из одного состояния в другое происходит скачком, в момент, когда осуществляется какое-то событие (например, приход новой заявки).

Понятие «поток» в СМО играет особенно важную роль. Известно, что число точек, попадающих на участок , распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием а = , где - плотность потока или среднее количество событий, приходящееся на единицу времени.

Вероятность того, что за время произойдет ровно m событий, равна

Pm( ) = ( )m e (- ) / m!

9

Процесс, протекающий в физической системе, называется марковским или процессом без последействия, если для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в настоящий момент t0 и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние.

Вероятностный анализ результатов моделирования. Рассмотрим некоторые вопросы статистической обработки результатов моделирования.

Флуктуации присущи всем стохастическим имитационным моделям, следовательно, для получения оценок с достаточной точностью необходимо многократно повторять эксперимент и набирать статистику. Математические методы обработки результатов экспериментов такого типа существенно зависят от вида вероятностных распределений. Таким образом, имитационный эксперимент можно интерпретировать как проведение определенного количества независимых испытаний в статистически неизменных условиях; при этом случайная величина Х принимает набор дискретных значений: х1, х2, ..., хN, где N - количество проведенных экспериментов.

Многие методы анализа результатов моделирования используют предположение о независимости и нормальности откликов модели. Это основано на применении центральной предельной теоремы теории вероятностей: распределение случайной величины Y, являющейся суммой большого числа независимых случайных величин с одинаковыми распределениями вероятностей, близко к нормальному распределению.

Теорема Ляпунова: Если Х1, Х2, ..., ХN - независимые случайные величины, у каждой из которых существует математическое ожидание M(Xi)=ai, дисперсия D(Xi)= i2, абсолютный центральный момент третьего порядка

M ( | X - ai |3 )=Mi и

нормальному закону с математическим ожиданием ai и дисперсией i2. Плотность вероятностей для нормального распределения определяется

по формуле:

P( x) 12 e( x A) 2 / 2 2

Параметр называется среднеквадратическим отклонением и характеризует точность проведенных измерений. Чем меньше , тем быстрее убывает плотность распределения Р(х) с возрастанием х.

Вероятность попадания случайной ошибки в симметричный интервал (-х1,х1) при нормальном распределении вычисляется по формуле:

Р(-х1 < X < х1) = P ( |X| < х1) = 2Ф(х1/ ).

Величина дисперсии обладает тем недостатком, что она не совпадает с размерностью самой случайной величины, поскольку размерность дисперсии - это квадрат размерности случайной величины. Поэтому и вводится мера

статистической совокупности значений или степень колеблемости значений. Под оценкой измеряемой случайной величины Х понимаем решение

следующих задач:

1.Вычисление такой функции g(х1, х2, ..., хN) от результатов экспериментов, которая дает достаточно хорошее приближение к соответствующему параметру случайной величины Х. Такая функция называется точечной оценкой параметра.

2.Нахождение границ интервала ((1 - )b, (1 + )b), который с заданной вероятностью покрывает истинное значение оцениваемого параметра. Такая оценка называется доверительным интервалом для оцениваемого параметра.

11

Величина , выбор которой зависит от конкретных условий решаемой задачи, называется доверительной вероятностью и стандартно предполагается равной 0.95, 0.99 и 0.999.

Контрольные вопросы.

1.Опишите модель состояния производственного элемента.

2.Опишите общую модель технологического множества.

3.Охарактеризуйте модель «затраты-выпуск».

4.Какой элемент называется однопродуктовым?

5.Приведите классические примеры производственных функций.

6.Что описывает линейная производственная функция?

7.Что описывает сепарабельная производственная функция?

8.Какие математические методы могут применяться при моделировании экономических процессов?

9.Как элементы теории автоматов могут применяться при моделировании экономических процессов?

10.Как строится сеть шкалированных автоматов?

11.Приведите примеры систем массового обслуживания.

12.Опишите принцип работы системы массового обслуживания.

13.Какие методы могут применяться для обработки результатов моделирования?

14.Что такое имитационный эксперимент?

Практическое занятие № 1

Тема 3. Моделирование оптимизационных задач в Excel

Достаточно часто в практике финансово-экономической деятельности приходится сталкиваться с оптимизационными задачами при ограничениях на какие-либо ресурсы. Примерами служат задачи оптимизации ассортимента продукции, задачи составления графиков занятости сотрудников организации, транспортные задачи, задачи о назначениях (например, выбора продавцов продукции по сегментам рынка).

Для решения данной группы задач может быть использована надстройка «Поиск решения», которая доступна из меню Сервис. Если эта надстройка не была инсталлирована, то ее установка происходит после выполнения последовательности команд Сервис+ Надстройки+ «Поиск решения»+ ОК.

Задачи, которые рационально решать с помощью надстройки «Поиск решения», имеют следующие свойства:

имеется единственная максимизируемая или минимизируемая цель (минимизация затрат на доставку, максимизация доходов за счет оптимизации средств на разные инвестиционные цели и т.п.);

имеются ограничения, выражающиеся, как правило, в виде неравенств (например, объем используемого сырья не должен превышать объем имеющегося сырья на складе);

имеется набор входных значений-переменных, прямо или косвенно влияющих на ограничения и на оптимизируемые величины. Рассмотрим применение надстройки «Поиск решения» на примере 1. Пример 1. Оптимальные смеси компонентов.

Некоторый технологический процесс требует использования сырья с

определенным содержанием примесей: примеси Ф не более 0.03%, примеси П не более 3.25%. Состав сырья нормируется сортами А, В, С, однако ни один из сортов не соответствует требованиям по содержанию обеих примесей одновременно. Следовательно, нужно закупать все 3 сорта в определенной пропорции и смешивать их для обеспечения допустимых

долей примесей. Требуется найти эти пропорции, в которых следует закупать сырье разных сортов. Каждый сорт характеризуется не только долями примесей, но и стоимостью, поэтому требуется минимизировать общую стоимость приобретаемого сырья (целевая функция).

Исходные данные, подготовленные на листе рабочей книги, показаны на рис.

1. Рис. 1. Исходные данные по примеру 1 Следует обратить внимание, что исходные данные обнаруживают достаточно запутанную ситуацию с выбором оптимального решения. В частности, сорт А удовлетворяет требованиям по содержанию П, но не соответствует норме по примеси Ф. Встречается ситуация, когда сырье (сорт С) укладывается в норму по обеим примесям, но при этом отличается высокой ценой. Для сорта B ситуация обратная — пороги по примесям

превышены, но цена относительно низка.

Ограничения по содержанию примесей Ф и П в финальной смеси являются неравенствами («не более порога»), поэтому не обязательно стремиться к тому, чтобы в финальной смеси проценты содержания примесей равнялись заданным значениям — они могут быть и меньше.

Не выдвигается требований по обязательности закупки какого-либо количества сырья каждого сорта. Таким образом оптимальный выбор может заключаться в закупке двух сортов из трех представленных (если это позволит сделать комбинация примесей в финальной смеси).

Кроме этого, не следует предполагать, что приобретение сырья единственного сорта будет целесообразным в том случае, если только он соответствует требованиям по примесям. Если имеется такая ситуация, что:

определенный сорт подходит по обеим примесям, причем их содержание меньше предельно допустимого с заметным запасом на ухудшение качества;

цена сорта заметно больше, чем цена другого сорта, качество которого

хуже, то для минимизации общей стоимости сырья может оказаться полезным

частичное приобретение худшего дешевого сырья для смешивания с лучшим дорогим.

Вручную найти даже неоптимальное решение, отвечающее всем ограничениям, достаточно сложно. Рассмотрение задачи начнем с заполнения ячеек С11:Е13 расчетными формулами (=B11*C5). В С17 введем проверочную формулу =ЕСЛИ(C14>E1*1,001;"Ошибка";" ") (и аналогично для D17), что позволит визуально контролировать нарушение нормативов по содержанию примесей. Поправочный сомножитель позволяет избежать ложных срабатываний при сравнении вещественных чисел.

Рис. 2. Ограничения и целевая

В надстройке «Поиск решения» (см. рис. 2) зададим целевую функцию, изменяемые ячейки, 3 ограничения (сумма долей разных сортов должна быть равна 1 и суммарные доли по обеим примесям не должны быть больше предельно допустимых) и найдем оптимальное решение (см. рис. 3).

Можно проанализировать, как влияют изменения исходных данных на результат. Например, улучшение качества сорта B за счет снижения доли примеси П до 3.5% приводит к отказу от закупки сорта А.

Пример 2. Требуется определить оптимальные смеси материалов с ограничениями на доступные ресурсы компонентов: нормируемый показатель качества материала был не ниже 76, а содержание примеси S — не более 0.3%. Для смешивания используются 4 компонента, имеющие

разные значения контрольного показателя, содержание примеси и стоимость. Фактическое наличие каждого компонента ограничено. Требуется получить определенное количество материала при минимально достижимой стоимости.

Формулировка примера напоминает предыдущий, но имеются и существенные отличия. В ситуации со смесью сырья разных сортов не было ограничений на доступность произвольного количества любого сорта, речь шла только о поиске приемлемой по содержанию примесей и оптимальной по стоимости смеси. Также не формулировалось требований по объему смеси, которую нужно получить.

Как и в предыдущих задачах, начнем с разработки структуры шаблона на рабочем листе. Шаблон будет состоять из 3 таблиц (см. рис. 4): требуемых характеристик, доступных компонентов и вывода решения.

Таблица решения — изменяемые данные о количестве каждого компонента, и расчетные доли вклада каждого компонента в суммарный показатель качества, суммарную долю примеси, общий вес и общую стоимость. Суммарные показатели рассчитываются в столбце H. Формула в D15 имеет вид =D$14/$D$4*D8, аналогично определяются результаты в остальных ячейках из блока D15:G16. Стоимость компонента получается перемножением его веса на себестоимость.

Суммарный вес (H14) должен быть не больше требуемого количества смеси (D4), т.е. предполагается, что при смешивании компоненты не теряются. Суммарный показатель качества (H15) должен быть не ниже допустимого (D2), а доля примеси (H16), наоборот, не выше нормированной (D3). Целевой ячейкой выберем H17, т.е. будем минимизировать суммарную