Теорема сложения вероятностей
Теорема о сумме двух несовместимых событий. Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Эту теорему легко обобщить на случай суммирования любого конечного числа независимых событий:
Р(А1 +А2 +...+ Аn) = P(A1) + Р(А2) +...+ Р(Аn).
Теорема о сумме двух совместимых событий. Вероятность суммы двух совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления.
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А ∙ В).
Следствия из теоремы сложения вероятностей:
1. Сумма вероятностей событий А1, А2, ..., Аn, образующих полную группу, равна единице.
Р(А1) + Р(А2) + ... + Р(Аn) = 1.
2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице
Примеры решения задач
Пример 1
Задание. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 руб., на 100 билетов - выигрыши по 100 руб., на 50 билетов - выигрыши по 20 руб., на 100 билетов - выигрыши по 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.
Решение. Рассмотрим события:
Выиграть
не менее 20 руб 
Выиграть
20 руб
Выиграть
100 руб
Выиграть
500 руб
Очевидно,
что 
Тогда по теореме сложения вероятностей имеем:
Ответ. 0,061
Пример 2
Задание. Производится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01; во второй – 0,008; в третий – 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.
Решение. Рассмотрим события:
Склад взрывается
Попадание в первый склад
Попадание во второй склад
Попадание в третий склад
Введенные события связаны равенством:
Так
как при сбрасывании одной бомбы
события 
несовместны,
то
Ответ. 0,043
Заключение
Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая математические модели массовых случайных явлений. В теории вероятностей используются результаты и методы многих областей математики (комбинаторики, математического анализа, алгебры, логики и т. п.). Однако теория вероятностей обладает некоторым своеобразием, поскольку она очень тесно связана с различными приложениями, причем приложения эти не столь привычны, как, например, приложения алгебры или дифференциальных уравнений. Задачи теории вероятностей также необычны и часто имеют нематематическую постановку. Это в первую очередь объясняется тем, что зарождение теории вероятностей связано с комбинаторными задачами азартных игр. Азартные игры трудно считать серьезным занятием. Но именно они привели к задачам, которые не укладывались в рамки существовавших математических соотношений и стимулировали тем самым поиск новых понятий, подходов и идей.
Подобно другим математическим наукам, теория вероятностей развивалась из потребностей практики и представляла собой прикладную дисциплину. В связи с этим ее понятия и выводы имели характерные черты тех областей знаний, в которых они были получены. Лишь постепенно выкристаллизовалось то общее, что присуще вероятностным схемам, независимо от области их приложения и что позволило превратить теорию вероятностей в надежный, точный и эффективный метод познания.