Вопросы программы второго курса Неопределенный интеграл

Определение и свойства неопределенного интеграла. Основные методы интегрирования.

Определенный интеграл

Определение, свойства и вычисление определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла. Несобственные интегралы. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Задачи, приводящиеся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Обыкновенные дифференциальные уравнения (основные понятия и определения). Задача Коши. Общий и частный интегралы дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения 1-го порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли и в полных дифференциалах.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения, уравнения с постоянными коэффициентами. Системы дифференциальных уравнений.

Числовые ряды

Общие понятия и определения. Понятие сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Знакопостоянные ряды. Признаки сравнения. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости ряда. Знакочередующиеся ряды. Теорема (признак) Лейбница. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

Функциональные ряды

Общие понятия и определения. Понятие сходимости и области сходимости ряда. Мажорируемые ряды. Понятие равномерной сходимости ряда. Теорема о равномерной сходимости мажорируемого ряда. Неп-рерывность суммы мажорируемого ряда. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов.

Степенные ряды

Основные понятия. Теорема Абеля. Интервал сходимости и радиус сходимости степенного ряда. Нахождение радиуса сходимости степенного ряда. Почленное интегрирование и дифференцирование степенного ряда.

Ряды Фурье

Разложение функций в ряд Фурье на отрезке <-p,p>. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье для функции с периодом 2l. Основная теорема о сходимости тригонометрического ряда Фурье. Примеры разложения функций в ряд Фурье.

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

Двойной интеграл, переход к повторному, свойства двойного интег-рала. Тройной интеграл, его вычисление. Свойства тройного интеграла.

Замена переменных в двойном и тройном интеграле. Переход от декартовых координат к полярным, цилиндрическим, сферическим. Приложения двойного и тройного интегралов.

Криволинейные интегралы. Вычисление криволинейных интегралов. Поверхностные интегралы. Вычисление поверхностных интегралов. Приложения интегралов по поверхности. Формула Грина.

Элементы теории поля

Скалярные и векторные поля. Поток векторного поля через поверхность. Формула Гаусса – Остроградского. Дивергенция. Потенциальные поля. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция. Формула Стокса. Ротор векторного поля. Потенциальные поля. Потенциал поля.

Элементы теории функций комплексного переменного

Производная ФКП, условия Коши-Римана, понятие регулярности ФКП. Дифференцируемость элементарных ФКП: z², exp(z), sin(z), cos(z), tg(z). Интегрирование по комплексному аргументу (через линейный интеграл). Свойства интеграла по комплексному аргументу. Теорема Коши для односвязной области (ФКП). Теорема Коши для многосвязной области (ФКП). Интегральная формула Коши (ФКП). Интегральная формула Коши (ФКП) для "n-ой" производной. Ряд Тейлора для ФКП. Ряд Лорана для ФКП. Изолированные особые точки и их классификация, понятие вычета (ФКП).Теорема о вычетах, вычет относительно полюса