Контрольная работа №12

Задание № 1. Основные понятия и формулы теории вероятностей

1. На сборку попадают детали с трех станков, из которых первый дает 0,3% брака, второй – 0,2% и третий – 0,4%. Найти вероятность использования при сборке бракованной детали, если с первого станка поступило 1000, со второго - 2000 и с третьего – 2500 деталей.

2. Рабочий обслуживает три однотипных станка. Вероятность брака для первого станка равна 0,02; для второго – 0,03; для третьего – 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего в два раза меньше, чем второго. Найти вероятность того, что взятая наудачу из ящика деталь окажется бракованной.

3. По самолёту производится три выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5; при втором – 0,6; при третьем – 0,8. Для вывода самолёта из строя заведомо достаточно трех попаданий; при одном попадании самолёт выходит из строя с вероятностью 0,3; при двух попаданиях – с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолёт будет сбит.

4. В трех одинаковых урнах находятся шары: в первой – 2 белых и 3 чёрных, во второй – 2 белых и 2 чёрных, в третьей – 3 белых и 1 чёрный. Из первой урны переложили наудачу взятый шар во вторую, после чего в третью урну переложили шар, взятый наудачу из второй. После этого из третьей переложили шар в первую. Найти вероятность того, что состав шаров в урнах не изменился.

5. Имеется 12 одинаковых урн, из них в шести по 3 белых и 4 чёрных шара, в трех по 2 белых и 8 чёрных шаров, в двух по 6 белых и 1 чёрному шару и в одной 4 белых и 3 чёрных шара. Из наудачу выбранной урны взят шар. Найти вероятность того, что он взят из урны, содержащей 6 белых и 1 чёрный шар, если он оказался белым.

6. На склад поступает продукция трех фабрик. Продукция первой составляет 20%, второй - 46%, третьей - 34%. Средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй – 2%, для третьей – 1%. Найти вероятность того, что взятое наудачу на складе изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось стандартным.

7. Имеется 10 одинаковых урн, из которых в девяти по 2 чёрных и 2 белых шара, а в одной – 5 белых и 1 чёрный шар. Из наудачу взятой урны взят шар. Найти вероятность того, что он взят из урны, содержащей 5 белых шаров, если он оказался белым.

8. Два охотника одновременно стреляют в цель. Вероятность попадания у первого равна 0,2; у второго – 0,6. В результате залпа оказалось одно попадание. Найти вероятность того, что промахнулся первый охотник.

9. По линии связи передается кодированный с помощью букв А, В, С текст. Вероятность передачи буквы А равна 0,5; В – 0,3; С – 0,2. Вероятности искажений соответственно равны 0.01; 0.03; 0.02. Сигнал из двух букв был принят без искажений. Найти вероятность того, что передавался сигнал АВ.

10. Мальчик вышел на поляну, откуда вело 5 дорог. Вероятности выхода из леса за час для различных дорог соответственно равны 0,6; 0,3; 0,2; 0,1; 0,1. Найти вероятность того, что мальчик пошел по первой дороге, если известно, что он вышел из леса через час.

Задание № 2. Случайные величины.

1. Даны две независимые случайные величины: Х – число появлений герба при 2 подбрасываниях монеты и Y– число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найти закон распределения разности этих случайных величинX-Y, математическое ожидание и дисперсию.

2. Охотник имеет 4 патрона и стреляет до первого попадания. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины Х, равной числу израсходованных патронов, если вероятность попадания при каждом выстреле 0,25.

3. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность безотказной работы в течение часа для первого станка равна 0,9; для второго 0,8; для третьего – 0,75; для четвёртого – 0,7. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х, равной числу станков, не потребовавших внимания рабочего в течение часа, математическое ожидание и дисперсию Х.

4. В цехе брак составляет 5% изделий. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х, равной числу бракованных изделий из 6 взятых наудачу, математическое ожидание и дисперсию Х.

5. Человек открывает дверь, имея 8 похожих ключей, подбирая ключ случайно. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа попыток открыть дверь при условии, что испробованный ключ устраняется из дальнейшего выбора и что только один ключ подходит к двери.

6. Стрельбу по цели ведут до получения двух попаданий, но производят не более 6 выстрелов. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа произведённых выстрелов, если вероятность попадания при одном выстреле 0,2.

7. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа попаданий при четырёх выстрелах, если вероятность попадания при одном равна 0,1.

8. Вероятность изготовления нестандартного изделия равна 0,06. Для проверки на стандартность из партии берут одно изделие и если оно нестандартно, то дальнейшие испытания прекращают и партию задерживают. А если оно стандартно, берут следующие изделие, но всего проверяют не более 5 изделий. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа проверенных изделий.

9. На пути следования машины 4 светофора, каждый из которых либо разрешает, либо запрещает дальнейшее движение с вероятностью 0,5. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа пройденных машиной светофоров до первой остановки.

10. Вероятность попадания в цель при одном выстреле – 0,4. Производится 6 выстрелов. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа попаданий.

Задание № 3. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения . Требуется найти .

1. ,;

2. ,;

3. ,;

4. ,;

5. ,;

6. ,;

7. ,;

8. ,;

9. ,;

10. ;

Задание № 4. Дана корреляционная таблица для величин X и Y, где

X – срок службы колеса вагона в месяцах, а Y – усредненное значение износа по толщине обода колеса в мкм:

Y | X	20	25	30	35	40	ny
16	4	6				10
26		6+m	10			16+m
36			15+a	3	9	27+a
46			4	12	8-m	24-m
56				b	5	5+b
nx	4	12+m	29+a	15+b	22-m	82+a+b

Составить уравнение линии регрессии Y по X. Вычислить коэффициент корреляции и оценить тесноту связи между признаками Y и X. Здесь m – номер группы, a – последняя цифра зачетной книжки, b – предпоследняя цифра зачетной книжки.

Задание № 5. Статистическое распределение задано декартовыми координатами точек (x,y) и частостью их появления n_x.

(x,y)	(a, 3+b)	(3+a, 6+b)	(6+a, 9+b)	(9+a, 12+b)	(12+a, 15+b)
nx	1	3	4	6	11
(x,y)	(15+a, 18+b)	(18+a, 21+b)	(21+a, 24+b)	(24+a, 27+b)	(27+a,30+b)
nx	10	7	5	2	1

Показать, что оно близко к нормальному распределению, и построить гистограмму его относительных частот. Здесь a – последняя цифра зачетной книжки, b – предпоследняя цифра зачетной книжки.