5.2.4. Дифференцирующее звено
Уравнение движения для дифференцирующего звена имеет вид
Выполняя над этим уравнением преобразование Лапласа получаем выражение для передаточной функции звена следующего вида:
Для нахождения временных характеристик звена определим его реакцию на единичное ступенчатое воздействие. Переходная характеристика дифференцирующего звена определяется как
.
На рис. 9. приведена переходная характеристика дифференцирующего звена.
Рис. 9. Переходная характеристики звена
Для построения частотных характеристик звена воспользуемся выражением для его комплексной передаточной функцией вида:
Исходя из этого, амплитудно-частотная характеристика звена определяется как:
Вещественная и мнимая частотные характеристики звена определяются как
.
Рис. 10. Амплитудно-фазовая частотная и логарифмическая частотные характеристики звена
Выражение для расчета ЛАЧХ принимает вид:
Для построения асимптотической ЛАЧХ воспользуемся выражением вида:
.
Амплитудно-фазовая и логарифмическая частотные характеристики звена показаны на рис. 10.
5.2.5. Колебательное звено
Уравнение движения для колебательного звена имеет вид
,
где
–
постоянная времени звена,
—
коэффициент
демпфирования.
Выполняя над этим уравнением преобразование Лапласа, получаем выражение для передаточной функции звена следующего вида:
Для нахождения временных характеристик звена определим его реакцию на единичное ступенчатое воздействие. Корни характеристического уравнения звена определяются как:
Для колебательного звена характерно различное распределение корней при разных комбинациях его параметров. В общем случае выражение переходная характеристика определяется выражением вида:
,
где
—
декремент затухания;
—
частота собственных
колебаний;
—
начальная фаза
колебаний
Рис. 11. Временные характеристики звена
Временные характеристики колебательного звена определяются распределением корней его характеристического полинома. На рис. 11 приведены переходные характеристики колебательного звена при действительно и комплексно-сопряженных корней характеристического полинома.
Для построения частотных характеристик звена воспользуемся выражением для его комплексной передаточной функцией вида:
Исходя из этого, амплитудно-частотная характеристика колебательного звена определяется как:
Вещественная и мнимая частотные характеристики звена определяются как
.
Выражение для расчета ЛАЧХ принимает вид:
Для построения асимптотической ЛАЧХ воспользуемся выражением вида:
.
Амплитудно-фазовая и логарифмическая частотные характеристики звена показаны на рис. 12.
Рис. 12. Амплитудно-фазовая частотная и логарифмическая частотные характеристики колебательного звена
5.3. Правила структурных преобразований сау и определение передаточных функций сложных систем.
Правила преобразования структурных схем, состоящих из отдельных динамических звеньев такие же, как при анализе статических характеристик САУ.
При параллельном соединении N звеньев передаточная функция САУ определяется как
.
При параллельном соединении N звеньев передаточная функция САУ определяется как
.
При охвате звена
с передаточной функцией
W
звеном, передаточная функция которого
,
передаточная функция САУ определяется
как:
.
При исследовании САУ структурные схемы используются для определения ее передаточной функции. Эта задача не представляет труда для относительно простых систем, для которых возможно упрощение структурной схемы на основе тех же правил, которые используются при анализе статических характеристик САУ. В ряде случаев для определения передаточных функций систем со сложными перекрестными связями оказывается полезным применение правила Мезона (Мейсона). Согласно этому правилу передаточная функция, связывающая две координаты САУ, определяется как
,
где
—
передаточная функция j-го замкнутого
контура, входящего в состав рассматриваемой
САУ,
—
передаточная функция, связывающая
рассматриваемые координаты, L – число
путей, связывающих рассматриваемые
координаты САУ, N – число локальных
замкнутых контуров, входящих в состав
рассматриваемой САУ.
В числителе
выражения для определения передаточной
функции сложной САУ записывается сумма
всех прямых путей, связывающих
рассматриваемые координаты. Символ
в
знаменателе приведенного выражения
указывает, что рассматриваются только
взаимонесвязанные, то есть не имеющие
общих элементов, замкнутые локальные
контуры САУ.
Однако для сложных систем автоматического управления с большим числом взаимосвязанных переменных составление структурной схемы сопряжено с большими трудностями и может быть проведено только на основании детального анализа исходных дифференциальных уравнений САУ. В этом случае применение метода структурных схем не облегчает нахождения основных уравнений системы. Однако при дальнейшем исследовании САУ структурная схема может оказаться полезной, так как в ней наглядно представлены все узлы системы и существующие между ними связи.
Большинство САУ представляют собой многоконтурные структуры. Методы же анализа и синтеза разработаны для одноконтурных систем. В связи с этим возникают проблемы приведения исходной системы к одноконтурной. Для этого используется несколько правил.
Правила переноса точки отвода обратной связи.
При переносе точек отвода обратной связи необходимо сохранять равенство передаточных коэффициентов. Рассмотрим случай переноса точки отвода обратной связи по направлению прохождения информации. Исходная и преобразованная структурная схемы САУ приведены на рис. 13. Для сохранения равенства передаточных коэффициентов обеих систем вводится звено, коэффициент передачи которого равен В.
Рис. 13. Перенос обратной связи по направлению передачи информации.
Передаточный коэффициент исходной системы
Передаточной коэффициент преобразованной системы:
При
имеем,
что
.
Таким образом, при
переносе точки обратной связи по
направлению прохождения информации,
дополнительный элемент должен иметь
передаточный коэффициент обратный
.
Рис. 14. Перенос точек отвода обратной связи против направления передачи информации.
Для анализа случая
переноса точки отвода обратной связи
против направления прохождения информации
рассмотрим исходную и преобразованную
структурные схемы САУ. Они приведены
на рис. 14. Для сохранения равенства
передаточных коэффициентов обеих систем
вводится звено, коэффициент передачи
которого равен
.
Передаточный коэффициент исходной системы
Передаточной коэффициент преобразованной системы:
При имеем, что
.
Таким образом, при переносе точки обратной связи против направления прохождения информации, дополнительный элемент должен иметь передаточный коэффициент, равный .
Другой важной операцией преобразования структурных схем является перенос сумматора. При переносе сумматора по направлению переноса информации (рис. 15) необходимо добавить звено с передаточным коэффициентом, равным коэффициенту передачи звена, через которое переносится сумматор.
Рис. 15. Перенос сумматора по направлению прохождения информации
Справедливость этого утверждения следует из следующих преобразований. Сигнал на выходе исходной САУ определяется как
.
Сигнал на выходе САУ после проведения структурных преобразований определяется как
При равенстве
сигналов на выходе исходной и
преобразованной структурных схем САУ,
то есть при выполнении условия
.
Для выполнения этого условия необходимо
выполнение условия, определяемого
решением уравнения вида:
Решением этого уравнения получаем, что
.
При переносе сумматора против направления прохождения информации рассмотрим исходную и преобразованную структурные схемы САУ, представленные на рис. 16.
В этом случае сигнал на выходе исходной САУ определяется как
.
Сигнал на выходе САУ после проведения структурных преобразований определяется как
.
Рис. 16. Перенос сумматора по направлению прохождения информации
При равенстве сигналов на выходе исходной и преобразованной структурных схем САУ, то есть при выполнении условия . Для выполнения этого условия необходимо выполнение условия, определяемого решением уравнения вида:
Решением этого уравнения получаем, что
.
То есть при переносе сумматора против направления прохождения информации необходимо добавлять звено с передаточным коэффициентом, равным обратному передаточному коэффициенту звена или звеньев, через которые переносится сумматор.