Вопросы.

 

1. Что называется статической характеристикой САУ и ее элементов?

2. Какие виды статических характеристик САУ вам известны?

3. Что называется статическим линейным элементов?

4. Какие особенности присущи астатическим элементам?

5. Дайте определение статической САУ?

6. Дайте определение астатической САУ?

7. Чем отличаются статические и астатические системы автоматического управления?

8. Что называется добротностью элемента или системы?

9. Какие способы соединения элементов САУ вам известны?

10. Как определить статическую характеристику САУ, состоящей из последовательно соединенных элементов?

11. Как определить статическую характеристику САУ, состоящей из параллельно соединенных элементов?

12. Какие способы используются для построения статических характеристик САУ?

13. Как графически определяется статическая характеристика замкнутой САУ?

14. Для каких целей используется линеаризация статических характеристик САУ?

15. Опишите основные принципы линеаризации статических характеристик САУ?

16. Как проводится линеаризация многомерных САУ

Тема 4. Динамика линейных систем автоматического управления.

 

Свойства любой системы проявляются в процессе ее функционирования. Для определения этих свойств следует подавать на входы некоторые возмущающие воздействия и анализировать вектор выходного состояния САУ. При отработке различных внешних воздействий реакция системы автоматического управления зависит от ее структуры и параметров.

Рассмотрим возможную реакцию САУ на ступенчатое воздействие, подаваемое на один из ее входов. При этом выходной сигнал может меняться апериодически (рис 1а) или при наличии нескольких затухающих колебаний (рис. 1б). Такой характер изменения выходной координаты системы характерен для устойчивых САУ.

Рис. 1. Возможные переходные процессы для устойчивых САУ.

 

Возможен случай, когда в системе возникают незатухающие колебания. САУ, обладающие таким свойством, называются консервативными. Характер изменения выходной координаты в консервативной САУ представлен на рис. 2.

Рис. 2. Переходной процесс в консервативной САУ

 

Для ряда систем характерно отсутствие постоянного или периодического сигнала на выходе САУ в течение всего периода ее работы. Такие системы называются неустойчивыми. Характер изменения выходного сигнала САУ при выводе ее из положения равновесия показан на рис. 3.

Как рассматриваемая система автоматического управления будет отрабатывать внешние воздействия, каков характер переходного процесса и обеспечивается ли его устойчивость – вот основные вопросы, которые рассматриваются при исследовании динамики систем автоматического управления. Прямой путь решения этой задачи – это проведение натурных экспериментов с реальными системами автоматического управления. Однако проведение таких экспериментов с реальной системой экономически невыгодно, а с проектируемой – невозможно. Поэтому эксперименты для изучения свойств САУ проводят не с реальными системам, а их моделями.

Рис. 3. Характер изменения выходной координаты неустойчивой САУ.

 

Модель – некоторая система, сохраняющая существенные черты оригинала и допускающая ее исследование физическими или математическими методами. Моделирование — это процесс проведения экспериментов на модели вместо прямых экспериментов на самой системе. В настоящее время моделирование наиболее широко применяемый способ научного познания реальной действительности. Очень часто моделирование – это единственное средство познания сложных систем.

Если поставлена задача составления исходных дифференциальных уравнений САУ, то возможны две ситуации. Либо детальная декомпозиция системы на модули и отдельные звенья возможна, либо нет.

Если декомпозиция возможна, то, опираясь на постулаты о сохранении материи и энергии (для соответствующего энергетического домена) и на закон Ома (в соответствующей формулировке), приступают к составлению исходных дифференциальных уравнений САУ, т.е. к созданию истинной модели системы. Истинной будем называть такую модель или такое математическое описание, о которых известно, что они детально соответствуют физической природе системы.

Если декомпозиция на модули и звенья для системы невозможна, то, не имея детальной информации о ее физической природе, можно получить лишь упрощенную модель или упрощенное математическое описание, которые, однако, позволят исследовать систему и получить адекватные результаты. В этом случае совокупность исходных дифференциальных уравнений САУ получают через частотный домен, путем экспериментального снятия частотных характеристик.

Для физической системы порядок системы дифференциальных уравнений ее истинной модели обычно в десять и более раз выше порядка системы дифференциальных уравнений ее ложной модели (например, для моделей операционных усилителей). Тем обусловлена широкая популярность ложных моделей, и типовых звеньев, как структурных элементов для их создания.

Дифференциальное уравнение САУ или уравнение динамики ее движения – это уравнение, определяющее зависимость выходного сигнала от входной переменной . В общем виде оно может быть представлено как:

(1)

где и – некоторые коэффициенты, значения которых в общем случае не являются постоянными.

Решение (1) определяет поведение системы автоматического управления в динамических режимах работы.

Вводя в рассмотрение алгебраический оператор дифференцирования вида

,

получаем запись дифференциального уравнения (1) в операторной форме записи.

.

Полученное алгебраическое уравнение позволяет определить связь между входной и выходной переменной САУ как

.

Связь между выходной и входной переменными можно определить как

.

(2)

Это выражение не является абсолютно строгим, так как используется оператор p, выполняющий операцию дифференцирования.

Составление основных уравнений систем автоматического управления (САУ) может быть облегчено, если рассматривать ее как комбинацию динамических звеньев с определенными передаточными функциями. Изображение САУ в виде совокупности динамических звеньев с указанием взаимосвязи между ними называется структурной схемой системы. Структурная схема может быть составлена на основе известных уравнений системы и, наоборот, дифференциальные уравнения могут быть получены из структурной схемы. При этом первая задача может иметь различные варианты решения, тогда как вторая всегда имеет единственное решение.

В целях формализации процесса составления исходных дифференциальных систем используют такие методы, как "Метод контурных токов", "Метод узловых потенциалов" и их аналоги, имеющиеся во всех энергетических доменах. В результате их применения получается единая система:

(3)

где:

— обобщенные координаты системы, в том числе (для САУ) ошибка — и регулируемая величина — ;

– полиномы от оператора , определяемые свойствами САУ. Они могут быть постоянными или зависящими от условий работы системы;

— внешние координаты — задающие и возмущающие воздействия;

— алгебраизированный оператор дифференцирования.

Совокупность уравнений (1) может быть решена относительно любой обобщенной координаты.

Для удобства и формализации решений систему уравнений (3) могут представить в одной из пяти стандартных форм:

• в форме Коши;

• в пространстве состояний;

• в виде передаточных функций — .

Рассмотрим форму Коши, как способ представления уравнение динамики движения системы. При этом используется матричная форма записи системы дифференциальных уравнений решенных исключительно относительно первой производной координат САУ.

(4)

где:

— собственные координаты системы, в которые входят ошибка системы , воздействие на объект , выходная координата — ,...;

_n — постоянные или переменные коэффициенты, определяемые структурой и параметрами системы автоматического управления;

— воздействия на систему — сигнал задания или помехи .

Уравнения могут быть решены относительно любой из фазовых координат .

В виде (4) форма Коши применяется в теории управления не часто. Она удобна, если для расчетов использовать классические математические пакеты: MathCAD, MATLAB, Mathematica, Maple. Форма Коши используется при построении аналоговых вычислительных моделей матричного типа (например, моделей на операционных усилителях).

В общем случае система дифференциальных уравнений (4) является нелинейной. Поэтому ее использование для решения задач анализа и синтеза САУ в аналитической форме затруднено. Поэтому в теории автоматического управления широко используется методы линеаризации систем дифференциальных уравнений. Наиболее часто применяемым является метод малых отклонений, основанный на представлении нелинейных характеристик отрезками прямых и замене действительных значений переменных отклонениями от выбранного положения равновесия. Применение этого метода к дифференциальным уравнениям базируется на способах, используемых при линеаризации статических характеристик САУ, как это было показано ранее.

В последнее время для представления уравнения движения САУ широко используется метод пространства состояний, который представляет собой ничто иное, как представления системы (4) в матричной форме записи.

Уравнения движения произвольной системы автоматического управления можно записать в виде:

для I=1,..N

(5)

где – Х- координаты системы. Частью из них можно управлять с помощью M уравнений -, характеризующих влияние функций управления, внешних возмущений или изменений параметров. — некоторая функция всех перечисленных аргументов. Эти уравнения записываются на основе физических законов Ньютона, Кирхгофа, математического или энергетического баланса и т.п. При этом выходные сигналы САУ Y определяется векторным уравнением вида:

(6)

где – некоторая функция координат системы, а также внешних возмущений и управляющих воздействий.

Далее мы будем иметь дело с векторной формой записи уравнений (5) и (6) в виде:

,

.

где

— вектор состояния системы;

— вектор внешних воздействий на САУ, включающий в себя управляющие и возмущающие воздействия на САУ;

— вектор выходных сигналов САУ.

Из всего множества таких систем будем рассматривать только те разделы, которые представляют фундамент теории линейных систем автоматического управления, описываемых уравнениями:

(7)

где — матрица размерности с элементами ;

— матрица размерности с элементами ,

— матрица размерности с элементами ,

— матрица размерности с элементами ,

Основное внимание будем уделять стационарным системам, в которых элементы матриц А, В, C и D являются постоянными. Если использовать символьную форму записи дифференциальных уравнений, которой применяется алгебраизированный оператор дифференцирования, то вышеприведенная система уравнений принимает вид:

Вышеприведенная система уравнений может быть представлена в виде структурной схемы САУ, показанной на рис. 4

Рис. 4. Структурная схема САУ в пространстве состояний.

 

Прежде чем рассмотреть управленческие аспекты задачи управления, исследуем свободное и вынужденное движение системы управления. Для этого полагаем, что уравнение системы описывается системой линейных дифференциальных уравнений вида:

с начальными условиями ,

где

Напомним, что в случае уравнение (1) называется неоднородным дифференциальным уравнением. Его решение содержит, как известно, свободную и вынужденные составляющие.

Начнем исследования с изучения переходных процессов в системе (3) для случая, когда ее движение обусловлено лишь ненулевыми начальными условиями, то есть .

В этом случае поведение системы описывается однородным дифференциальным уравнением вида:

(8)

Найдем решения этого уравнения в виде:

Дадим геометрическую интерпретацию решения линейного однородного уравнения (8) и определим особенности движения такой динамической системы.

Рис. 5. Геометрическая интерпретация понятия состояния САУ

 

Рассмотрим n-мерное пространство, по осям которой отложим координаты системы . Такое пространство называется пространством состояний. Начальные условия задаются в этом пространстве (рис. 5). Так как все координаты — это функции времени, то точка будет описывать некоторую траекторию. В любой момент времени вектор можно по системе собственных векторов матрицы А с коэффициентами разложения, равными . При таком разложении каждая из проекций определяется лишь одной экспонентой с показателем, равным соответствующему собственному числу . Величина определяется начальными условиями. Выберем начальные условия таким образом, чтобы . Тогда решение принимает вид:

Разложим в любой момент времени вектор по системе собственных векторов . Для n=3 и это движение будет происходить в некоторой плоскости, образованной двумя собственными векторами и .

Если при вектор лежит в этой плоскости, то и вектор лежит в этой плоскости при любом . Таких плоскостей 3 в рассмотренном примере или n — в системе произвольного порядка.

Таким образом, произвольная траектория в пространстве состояний является пространственной кривой, если все . Но в тоже время в пространстве состояний существует n особых плоскостей, обладающих следующей особенностью: если в начальный момент вектор состояния находится в этой плоскости, то при дальнейшем движении вектор состояния из этой плоскости не выходит, или траектория движения целиком принадлежит этой плоскости. Такая плоскость называется инвариантным подпространством матрицы А.

Метод пространства состояний позволяет исследовать точность, устойчивость и качество процессов управления. Задача о качестве управления рассматривается в следующем смысле — необходимо выбрать такое корректирующее устройство или совокупность корректирующих устройств, чтобы система с обратной связью имела желаемое распределение корней, что практически однозначно определяет поведение системы в динамических режимах: время регулирования, колебательность, перерегулирование и т.д.

В дальнейшем для характеристики звена будет использоваться понятие передаточной функции, так как именно она дает связь между входной и входной переменными того или иного звена в САУ или всей системы в целом. Функция, связывающая один входной и один выходной сигналы САУ. Является формой записи системы дифференциальных уравнений САУ реш¨нной относительно требуемой выходной координаты. Обычно передаточные записывается не для временного домена, а для домена Лапласа, связывая в этом варианте не сигналы (т.е. не функции времени), а их изображения.

Для дифференциальных уравнений с нулевыми начальными условиями целесообразно применение преобразования Лапласа, которое выполняется с помощью выражения вида

,

где — комплексная переменная.

Важным свойством преобразования Лапласа является замена операций интегрирования и дифференцирования делением и умножением на оператор Лапласа соответственно. То есть имеют место следующие соотношения:

.

При переходе к преобразованию Лапласа рассматриваются не временные функции входной и выходной переменной, а их изображению по Лапласу. Применяя преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению, описывающему поведение звена в динамических режимах, получаем

где – оператор Лапласа.

Теперь можно математически строго записать связь между изображениями входной и выходной величин

Передаточной функцией звена или САУ называется отношение изображений по Лапласу переменных на выходе и входе динамического звена. Согласно определению передаточная функция определяется как

.

Для получения передаточной функции необходимо дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы или звена в динамических режимах. При заданной временной характеристики системы возможно использование таблиц, приведенных в различных учебниках по ТАУ и справочниках, связывающих и .

Передаточная функция может быть использована для решения широкого круга задач анализа и синтеза систем автоматического управления. С ее помощью можно определить как установившееся значения искомой переменной, так и проводить ее исследование в частотной и временной областях.

Использование передаточной функции для определения установившегося значения координат в САУ. Для этого необходимо определить значение изображения искомой переменной для случая, когда оператор Лапласа равен нулю.

.

Расчет переходных процессов с использованием передаточной функции. Для отыскания оригинала искомой переменной по его изображению проводится с использованием теоремы разложения. Если изображение Лапласа представить в виде отношения двух многочленов

,

то оригинал определяется по формуле вида:

,

где ,

– корни характеристического уравнения вида .

Понятие передаточной функции САУ используется при применении метода пространства состояний. Для определения специфики понятия передаточной рассмотрим уравнение (7). После выполнения преобразования Лапласа получаем

,

где Е – единичная матрица.

Из этого уравнения следует, что изображение вектора состояния САУ определяется как

.

Тогда взаимосвязь между вектором входных сигналов и вектором состояния САУ определяется как

.

Эта взаимосвязь и называется передаточной функции САУ в терминах пространства состояний. Она представляет собой матрицу, размерности , каждый элемент которой является передаточной функцией для компоненты вектора состояния с номером I относительно компоненты вектора входных сигналов с номером j.

Вектор выходных сигналов САУ с учетом вышесказанного определяется как

.

При этом выражение, стоящее в скобках, является передаточной функцией САУ, связывающей вектор ее выходных сигналов с вектором внешних воздействий.

 

Представление САУ в частотной области

 

Важную роль при описании линейных стационарных систем играют частотные характеристики. Если на вход линейной САУ подать синусоидальное воздействие, то по истечении некоторого времени, когда затухнут все движения, определяемые переходными процессами внутри САУ, на выходе системы установится также гармоническое изменение выходной координаты с той же частотой, которую имеет входная величина, но с иными амплитудами и фазой. Эти величины при прочих равных условиях, будут зависеть от частоты возмущающего воздействия. Такие зависимости называют частотными характеристиками САУ. По частотным характеристикам можно судить о динамических свойствах САУ. Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, то есть реакция системы на несколько одновременно действующих воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. Это позволяет рассматривать частотные характеристики отдельно для каждого возмущения.

Периодическое гармоническое воздействие на объект может быть записано в векторной форме как

,

где Х – амплитуда воздействия,

– угловая частота,

- единичный вектор.

Послу затухания собственных колебаний в САУ на ее выходе установятся периодические колебания, определяемые выражением вида:

,

где — фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного.

Как действительные, так и векторное представление соотношения входных и выходных сигналов САУ показано на рис. 6.

Рис. 6. Входные и выходные сигналы САУ

 

В этом случае можно говорить о комплексном коэффициенте передачи САУ , который определяется как

,

где – модуль комплексного коэффициента передачи,

— фаза вектора комплексного коэффициента передачи

Заметим, что если вместо подстановки сигналов записать дифференциальные уравнения движения системы для преобразования Лапласа и вновь найти отношение выходного сигнала к входному, то полученная, в ходе этого преобразования, передаточная функция совпадет с частотной передаточной функцией. Следовательно, можно отметить две особенности частотной передаточной функции:

во-первых, частотная передаточная функция получается из обычной заменой оператора Лапласа на комплексную частоту , т.е. в результате перехода от изображения Лапласа к изображению Фурье,

во-вторых, если дифференциальные уравнения движения системы связывает входной и выходной сигналы (т.е. функции времени), а передаточная функция связывает изображения Лапласа тех же сигналов, то частотная передаточная функция связывает их спектры

Комплексный коэффициент передачи является комплексной величиной, а его компоненты зависят от частоты входного сигнала. Модуль может быть представлен вектором на комплексной плоскости, как это показано на рис. 7.

Рис. 7. Характеристики комплексного коэффициента передачи.

 

При непрерывном изменении частоты происходит изменение положения вектора комплексного коэффициента передачи САУ, сопровождающееся изменением его модуля и фазы. Конец вектора описывает на комплексной плоскости некоторую кривую, называемую годографом. Годограф — это геометрическое место точек конца вектора комплексного коэффициента передачи на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до . Значения частот откладываются непосредственно на годографе, который является амплитудно-фазовой характеристикой системы (АФЧХ). Для определения модуля и фазы комплексного коэффициента передачи на заданной частоте следует соответствующую точку годографа соединить прямой с началом координат. Длина полученного отрезка соответствует модулю комплексного коэффициента передачи. Угол, образованной полученной прямой с положительной вещественной осью, является фазой комплексного коэффициента передачи (рис. 6). Такое представление частотной характеристики САУ достаточно наглядно, но не позволяет просто получать количественные характеристики для сравнения разных систем.

Для решения этой задачи используются:

Амплитудно-частотная характеристика САУ – зависимость модуля комплексного коэффициента передачи от частоты.

Вещественная частотная характеристика – зависимость действительной части комплексного коэффициента передачи от частоты:

Мнимая частотная характеристика – зависимость мнимой части комплексного коэффициента передачи от частоты:

Эти характеристики связаны между собой и вектором комплексного коэффициента передачи следующими зависимостями:

,

.

Рис. 8. Амплитудно-фазовая частотная характеристика

 

Другой формой представления частотных характеристик является логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) и логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ). В этом случае по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе, что позволяет отложить на заданном отрезке значительный диапазон частот. Для комплексного коэффициента передачи определяется десятичный логарифм

.

Из этого выражения следует, что комплексный коэффициент передачи может быть представлен совокупностью ЛАЧХ, определяемой как

,

и ЛФЧХ, совпадающей с .

По оси абсцисс откладывается величину . При этом вводятся две единицы измерения:

декада – длина отрезка, соответствующего десятикратному изменению частоты входного сигнала;

октава – длина участка оси частот, соответствующая двухкратному изменению частоты.

Фаза откладывается по оси частот в радианах или угловых градусах. Ординатой ЛАЧХ является не величина , а пропорциональная ей величина в децибелах

.

Использование логарифмического масштаба обусловлено не только значительными изменениями модуля комплексного коэффициента передачи. В большей степени это обусловлено возможностью выполнения графических методов расчета. При расчетах САУ часто приходится иметь дело с последовательным соединением элементов САУ. В этом случае комплексный коэффициент передачи определяется произведением отдельных коэффициентов передачи. А так как логарифм произведения есть сумма логарифмов сомножителей, то вычисления результирующей характеристики значительно упрощаются.

Рассмотрим САУ, числитель и знаменатель передаточной функции которой могут быть представлены либо в виде отношения полиномов:

,

либо в виде отношения их разложений на элементарные множители:

Постановка позволяет перейти в частотный область. При наличии ЭВМ построение ЛАЧХ и ЛФЧХ не составит труда в любом случае. Пример расчета логарифмических частотных характеристик САУ показан на рис. 9.

Рис. 9. ЛАЧХ и ЛФЧХ САУ.

 

Однако разложенная на множители передаточная функция позволяет построить асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ практически без вычислительной работы. Каждый линейный множитель ее числителя и знаменателя есть комплексное число. Найдем модуль каждого (как гипотенузу прямоугольного треугольника), и перейдем к логарифмическому масштабу:

Для упрощения дальнейших построений избавимся от операции умножения, заменив ее операцией сложения в логарифмическом домене:

(9)

Легко понять, что каждое слагаемое этого выражения есть либо прямая линия, либо асимптотически приближается к прямым линиям при устремлении частоты к нулю и к бесконечности. Наклон аппроксимирующих прямых всегда кратен 20 дБ за декаду.

Для построения ЛФЧХ необходимо найти фазу каждого множителя числителя и знаменателя частотной передаточной функции, как арктангенс отношения его противолежащего катета к прилежащему (напомним, что при произведении комплексных чисел (в экспоненциальной форме) фазы (показатели степени) складываются, а при делении — вычитаются). Таким образом, построение ЛФЧХ производится по выражению:

Отметим так же, что одному Белу соответствует увеличение мощности в 10 раз. Поскольку A - это физическая величина либо первого, либо второго рода, а не их произведение (т.е. не мощность); увеличение ее в 10 раз соответствует увеличению мощности в 100 раз, что соответствует двум Белам или 20 дБ.

Правила построения асимптотических ЛАЧХ и ЛФЧХ, точнее каждого слагаемого выражения (9) показаны на рис. 10.

Рис. 10. Построение асимптотической ЛАЧХ.

 

Точность асимптотических ЛАЧХ и ЛФЧХ достаточна в большинстве случаев. Для звеньев первого порядка максимальная амплитудная ошибка вблизи частоты сопряжения составляет 3 дБ. Максимальная фазовая ошибка — 6%. Фрагмент частотной характеристики колебательного звена вблизи резонансной частоты лишь иногда следует уточнить по опорным справочным кривым для данного .