Областью определения бинарного отношения s называется множество

D_S = {x  y: x S y}.

Областью значений бинарного отношения s называется множество

R_S = {y  x: x S y}.

Областью задания бинарного отношения s называется множество

M_S = D_S R_S.

Пример 2.9. Пусть S = {1, 3, 3, 3, 4, 2}. Тогда D_S = {1, 3, 4}, R_S = {3, 2}, M_S= {1, 2, 3, 4}.

Среди отношений на множествах особую роль играют бинарные отношения между элементами одного множества, т.е. S X².Их называют бинарными отношениями на множестве X.

Бинарное отношение для конечного множества может быть задано матрицей бинарного отношения. Пусть А = {a₁, a₂, …, a_n} – конечное множество. Матрица бинарного отношения C есть квадратная матрица порядка n, элементы которой c_ij определяются следующим образом:

c_ij =

Пример 2.10. А = {1, 2, 3, 4}. Зададим бинарное отношение S тремя перечисленными способами.

1. S = {1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 4, 3, 4} – отношение задано перечислением всех упорядоченных пар.

2. S = { a_i, a_j a_i < a_j; a_i, a_j  А} – отношение задано указанием свойства "меньше" на множестве А .

3. – отношение задано матрицей бинарного отношения C.

Пример 2.11. Рассмотрим некоторые бинарные отношения.

1. Отношения на множестве натуральных чисел.

а) отношение  выполняется для пар 1,2, 5,5, но не выполняется для пары 4,3;

б) отношение "иметь общий делитель, отличный от единицы" выполняется для пар 3, 6, 7, 42, 21, 15, но не выполняется для пары 3, 28.

2. Отношения на множестве точек действительной плоскости.

а) отношение "находиться на одинаковом расстоянии от точки (0, 0)" выполняется для точек (3, 4) и (–2, 21), но не выполняется для точек (1, 2) и (5, 3);

б) отношение "быть симметричным относительно оси OY" выполняется для всех точек (x, y) и (–x, –y).

3. Отношения на множестве людей.

а) отношение "жить в одном городе";

б) отношение "учиться в одной группе";

в) отношение "быть старше".

Бинарные отношения на плоскости можно отобразить с помощью графов. Элементы множества M_S обозначаются вершинами графов. Если для a M_S, b M_S aSb, то вершины а и b соединяются стрелкой (дугой).

Пример 2.12. Графическое изображение отношений из рассмотренных выше примеров приведено на рис. 2.1.

2.4. Свойства отношений

Среди бинарных отношений на множествах выделяются некоторые, обладающие общими свойствами.

Отношение S называется рефлексивным на множестве X, если для любого x X выполняется x S x, т.е. (x),(x, x) S.

а) Граф отношения из примера 2.9	b) Граф отношения из примера 2.10
с) Граф отношения «быть равными» на множестве {1, 2, 3 ,4}	d) Граф отношения «иметь общий делитель» на множестве {2, 3 ,4, 6}

Рис. 2.1. Графы бинарных отношений

В матрицах рефлексивных отношений на главной диагонали стоят единицы. У графа такого отношения все вершины имеют петли.

Пример 2.13. Рефлексивными являются отношения «быть равными» (рис. 2.1 с), «быть не меньше», «иметь общий делитель» (рис. 2.1 d) на множестве чисел; «быть подмножеством» на множестве множеств, «жить в одном городе» на множестве людей.

Отношение S называется нерефлексивным на множестве X, если (x), (x, x) S и антирефлексивным если. (x),(x, x) S.

Отношение S называется симметричным на множестве X, если для любых x, y  X из xSy следует yS x.

Матрицы симметричных отношений симметричны (равны транспонированным). У графа такого отношения все дуги имеют встречные.

Пример 2.14. Симметричными являются отношения «быть равными» (рис. 2.1 с), «быть не меньше», «иметь общий делитель» (рис. 2.1 d) на множестве чисел; «быть подмножеством» на множестве множеств, «жить в одном городе» на множестве людей.

Отношение S называется антисимметричным на множестве X, если для любых x, y  X из x S y и y S x следует x = y.

Отношение S называется асимметричным на множестве X, если ни для одной пары x, y  X не выполняется одновременно x S y и y S x.

Пример 2.15. а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и  = {1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3}. Отношение S антисимметрично.

б) Отношение G = {1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3} не антисимметрично. Например, 1, 2 G, и 2, 1 G, но 1 2.

в) На множество действительных чисел отношение  (меньше или равно) антисимметрично.

г) На множество действительных чисел отношение > (больше) асимметрично.

Отношение S называется транзитивным на множестве X, если для любых x, y, z  X из xSy и yS z следует xSz.

Одновременное выполнение условий xSy, yS z, xS z означает, что пара x, z принадлежит композиции S S. Поэтому для транзитивности S необходимо и достаточно, чтобы множество S S являлось подмножеством S, т. е. S S  S.

Пример 2.16. а) Пусть X – конечное множество, X= {1, 2, 3} и S = {1,1, 1 2,2,3, 1, 3}. Отношение S транзитивно, т. к. наряду с парами x, y и y, z имеется пара x, z. Например, наряду с парами 1,2, и 2,3 имеется пара 1,3.

б) На множестве действительных чисел отношение  (меньше или равно) транзитивно, т.к. если x y и y z , то x z.

в) Пусть X – множество людей, отношение "быть старше" транзитивно, т.к. если x старше y и y старше z , то x старше z.

Отношение S называется отношением эквивалентности на множестве X, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно на множестве X.

Пример 2.17. Отношениями эквивалентности являются отношение равенства на множестве чисел, отношение "учиться в одной группе" на множестве студентов.

Пусть S – отношение эквивалентности на множестве X и x X. Классом эквивалентности, порожденным элементом x, называется подмножество множества X, состоящее из тех элементов y  X, для которых xSy. Класс эквивалентности, порожденный элементом x, обозначается через [x].

Классы эквивалентности образуют разбиение множества X, т. е. систему непустых попарно непересекающихся его подмножеств, объединение которых совпадает со всем множеством X.

Пример 2.18. а) Отношение равенства на множестве целых чисел порождает следующие классы эквивалентности: для любого элемента x из этого множества [x] = {x}, т.е. каждый класс эквивалентности состоит из одного элемента.

б) Класс эквивалентности, порожденный парой x, y определяется соотношением: [x, y] = . Каждый класс эквивалентности, порожденный парой x, y, определяет одно рациональное число.

в) Для отношения принадлежности к одной студенческой группе классом эквивалентности является множество студентов одной группы.

Отношение S называется отношением толерантности на множестве X, если оно рефлексивно, симметрично на множестве X.

Отношение S называется отношением частичного порядка (или просто частичным порядком) на множестве X, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно на множестве X. Множество X в этом случае называют частично упорядоченным и указанное отношение принято обозначать символом , а, если это не приводит к недоразумениям, то .

Пример 2.19. а) Пусть X = {1, 2, 3} и S = {1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3}. Отношение S есть отношение частичного порядка.

б) Отношение А  В на множестве подмножеств некоторого множества U есть отношение частичного порядка.

d) Отношение делимости на множестве натуральных чисел есть отношение частичного порядка.