- •Е.И. Балабан Элементы дискретной математики
- •Введение
- •1. Элементы теории множеств
- •1.1. Множества и его элементы
- •1.2. Операции над множествами
- •1.3. Декартово произведение множеств
- •1.4. Алгебра множеств
- •Основные тождества алгебры множеств
- •Примеры тестовых заданий
- •2. Отображения. Отношения
- •2.1. Отображение множеств
- •2.2.Эквивалентность множеств. Мощность множества
- •2.3. Бинарные отношения
- •Областью определения бинарного отношения s называется множество
- •Областью значений бинарного отношения s называется множество
- •Областью задания бинарного отношения s называется множество
- •2.4. Свойства отношений
- •Примеры тестовых заданий
- •3. Комбинаторика
- •3.1. Правило суммы. Правило произведения
- •3.2. Перестановки
- •3.3. Размещения
- •3.4. Сочетания
- •Примеры тестовых заданий
- •4. Графы
- •4.1. Основные характеристики графов
- •4.2. Матричные способы задания графов
- •Основные свойства матриц смежности и инцидентности
- •4.3. Изоморфизм графов
- •4.4. Маршруты, циклы в неориентированном графе
- •4.5. Пути, контуры в ориентированном графе
- •4.6. Связность. Матрицы достижимости и связности
- •4.7. Деревья
- •Примеры тестовых заданий
- •5. Алгебра логики. Исчисление высказываний
- •5.1. Формулы алгебры логики
- •5.2. Функции алгебры логики
- •5.3. Эквивалентность формул
- •Основные равносильности булевых формул.
- •5.4. Двойственность. Принцип двойственности
- •5.5. Нормальные формы
- •Примеры тестовых заданий
- •Список литературы
2. Отображения. Отношения
2.1. Отображение множеств
Если каждому элементу хХ поставлен в соответствие один и только один элемент yY, то говорят, что определено отображение f множества X во множество Y. Обозначают y=f(x). Элемент у есть образ элемента х при данном отображении f, х - прообраз элемента у.
Отображение f -1, при котором каждому элементу множества Y ставится его прообраз из множества Х, называется обратным отображением для f.
Частным случаем отображения множества X во множество Y является отображение множества X на множество Y.
Отображение f множества X в Y называется сюръективным (отображением множества X на Y), если каждый элемент yY имеет хотя бы один прообраз.
Отображение X в Y называется инъективным, если для каждого элемента yY существует не более одного прообраза.
Если отображение f сюръективно и инъективно, оно называется биективным (взаимно-однозначным).
Пример 2.1. Пусть Х={а, b, с, d}, Y={2, 4, 6}, Z={m, n, k, q}. Зададим отображения f1: Х Y; f2: Х Y; f3: Y Z; f4: X Z:
f1: |
a 2 |
f2: |
a 6 |
f3: |
2 n |
f4: |
a m |
|
b 4 |
|
b 4 |
|
4 q |
|
b q |
|
c 4 |
|
c 4 |
|
6 k |
|
c k |
|
d 6 |
|
d 6 |
|
|
|
d n |
Отображение f1 X в Y является сюръективным, но не является инъективным (элемент "4" имеет два прообраза). Отображение f2 несюръективно (элемент "2" не имеет прообраза) и неинъективно. Отображение f3 является инъективным, но несюръективно (элемент " m" не имеет прообраза) и неинъективно. Отображение f4 сюръективно и инъективно, т.е. является биективным.
Обратными для рассматриваемых отображений являются:
f1-1 : |
2 a |
f2-1: |
2 |
f3-1: |
m |
f4-1: |
m a |
|
4 {b, c} |
|
4 {b, c} |
|
n 2 |
|
n d |
|
6 d |
|
6 {a, d} |
|
k 6 |
|
k c |
|
|
|
|
|
q 4 |
|
q b |
Очевидно, биективное отображение между конечными множествами X и Y возможно только в случае, когда число элементов этих множеств совпадает.
Пример 2.2. Биективным отображением для бесконечных множеств может является, например, отображение f, установленное между множеством натурального ряда чисел А={1, 2, 3, ... n, ...} и множеством четных положительных чисел В={2, 4, 6,...} по типу n 2n.
Пусть f : X Y и g : Y Z - некоторые отображения. Суперпозицией этих отображений называется отображение f g : X Z, определяемое следующим образом: (f g)(x)=g(f(x)), x X .
Заметим, что суперпозиция определена не для любых пар отображений. Однако суперпозиция двух преобразований одного и того же множества определена всегда.