1.4. Алгебра множеств

Множества вместе с определенными на них операциями образуют алгебру множеств. Последовательность выполнения операций задается с помощью формулы алгебры множеств. Например,  (ВC), (А \ В) + C – формулы алгебры множеств.

Чтобы доказать некоторое тождество A = B, нужно доказать, что, во-первых, если x А, то xВ и, во-вторых, если xВ, то x А.

Пример 1.21. Докажем таким образом, например, свойство дистрибутивности для объединения (тождество 3а)): A (BC) = (AB)  (AC).

1. Сначала предположим, что некоторый элемент x принадлежит левой части тождества, т.е. x A (BC), и докажем, что x принадлежит правой части, т.е. x(AB)  (AC).

Действительно, пусть x A (BC). Тогда либо x A, либо x BC. Рассмотрим каждую из этих возможностей.

Пусть x A. Тогда x A  B и x A C (это верно для любых множеств B и C). Следовательно, x(AB)  (AC).

2. Предположим, что некоторый элемент x принадлежит правой части тождества, т.е. x (AB)  (AC), и докажем, что x принадлежит левой части, т.е. x A (BC) .

Действительно, пусть x (AB)  (AC). Тогда xAB, и одновременно x AC. Если x AB, то либо x A, либо x B, если .x AC, то либо x A, либо x C. Пусть x A, Тогда x A (BC) и утверждение доказано. Если x A, то одновременно должны выполняться условия x B и x C, т.е. x BC. Но тогда x BC и x A (BC), что также доказывает наше утверждение.

Основные тождества алгебры множеств

Для любых множеств A, B, C справедливы следующие тождества:

1. Коммутативность.

а) A  B = B  A (для объединения); б) A  B = B  A (для пересечения).

2. Ассоциативность.

а) A  (B  C) = (A  C)  C (для объединения);

б) A  (B  C) = (A  B)  C (для пересечения).

3. Дистрибутивность.

а) A (BC) = (AB)(AC) (для объединения относительно пересечения);

б) A(BC) = (AB)(AC) (для пересечения относительно объединения).

4. Закон де Моргана.

а) =  (дополнение к объединению есть пересечение дополнений);

б)  =  (дополнение к пересечению есть объединение дополнений).

5. Идемпотентность.

а) A  A = A (для объединения);

б) A  A = A (для пересечения).

6. Поглощение.

а) A  (A  B) = A;

б) A  (A  B) = A.

7. Расщепление (склеивание).

а) (A  B)  (A  ) = A;

б) (A  B)  (A  ) = A.

8. Двойное дополнение. = A.

9. Закон исключенного третьего. A  = U.

10. Операции с пустым и универсальным множествами.

а) A  U = U;	г) A   = ;
б) A   = A;	д) = U;
в) A  U = A;	е) = 

11. А \ В = A  .

Основные тождества алгебры множеств можно использовать для доказательства других тождеств.

Пример 1.22. Доказать тождество (AB) \ В = A  .

Преобразуем левую часть тождества, используя тождество 11:

(AB) \ В = (AB)  .

Затем используем закон дистрибутивности (тождество 3б):

(AB)  = A  B  .

Используем закон исключенного третьего (тождество 9): B  = .

Получим: A  B  = A   .

Используем свойство пустого множества (тождество 10б): A    = A  .

Тождество доказано.

Доказательство тождеств можно проиллюстрировать с помощью диаграмм Венна.

Пример 1.23. Доказать тождество: A \ (В \ C) = (A \ В)  (A  C).

Множества, стоящие в левой и правой частях тождества, изобразим с помощью диаграмм Эйлера – Венна (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Рис. 1.3б) и рис. 1.3д) иллюстрируют равенство множеств A \ (В \ C) и (A \ В) (A C).