5.2. Функции алгебры логики
Как уже отмечалось выше значение логическое переменной «истина» принять обозначать «1», а «ложь» - «0».
Функцией алгебры логики или булевой функцией f(x1, x2, ... , xn) называется произвольная функция n переменных, аргументы которой x1, x2, ... , xn и сама функция f принимают значения 0 или 1, т. е. xi {0, 1}, i = 1, 2, ... , n; f(x1, x2, ... , xn) {0, 1}.
Булевых функций
двух переменных – 16 (22
при
n
= 2). Они представлены в таблице 5.3.
Таблица 5.3
x1 |
x2 |
0 |
x1&x2 |
f2 |
x1 |
f4 |
x2 |
x1 |
x1x2 |
x1¯x2 |
x1~x2 |
x2 |
x2x1 |
x1 |
x1x2 |
x1ïx2 |
1 |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
0 0 0 0 |
0 0 0 1 |
0 0 1 0 |
0 0 1 1 |
0 1 0 0 |
0 1 0 1 |
0 1 1 0 |
0 1 1 1 |
1 0 0 0 |
1 0 0 1 |
1 0 1 0 |
1 0 1 1 |
1 1 0 0 |
1 1 0 1 |
1 1 1 0 |
1 1 1 1 |
x2
Кроме уже введенных в п. 5.1 специальные названия имеют функции:
x1 x2 – сложение по модулю два (исключающее «или», строгая дизъюнкция);
x1¯x2 – стрелка Пирса (антидизъюнкция);
x1ï x2 – штрих Шеффера (антиконъюнкция).
5.3. Эквивалентность формул
В отличие от табличного задания представление функции формулой не единственно. Например, две различные формулы x1 x2 и (x1&x2) реализуют одну функцию – штрих Шеффера.
Две формулы, реализующие одну и ту же функцию, называются равносильными.
Равносильность формул A и B будем обозначать следующим образом: A= B.
Для того, чтобы установить равносильность формул, можно составить таблицы значений функции для каждой формулы и сравнить их. Для равносильных формул эти таблицы совпадают. Другой способ установления равносильности формул заключается в использовании некоторых установленных равносильностей булевых формул.
Основные равносильности булевых формул.
Для любых формул A, B, C справедливы следующие равносильности:
1. Коммутативность.
а) A&B= B&A (для конъюнкции);
б) AB = BA (для дизъюнкции).
2. Ассоциативность.
а) A&(B&C) = (A&C)&C (для конъюнкции);
б) A (BC) = (AB) C (для дизъюнкции).
3. Дистрибутивность.
а) A&(BC) = A&BA&C (для конъюнкции относительно дизъюнкции);
б) A (B&C) = (AB)&(AC) (для дизъюнкции относительно конъюнкции).
4. Закон де Моргана.
а) (A&B)= A B (отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний);
б) (AB)= A& B (отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний).
5. Идемпотентность.
а) A&A = A (для конъюнкции);
б) AA = A (для дизъюнкции).
6. Поглощение.
а) A&(AB) = A (1– ый закон поглощения);
б) AA&B = A (2– ой закон поглощения).
7. Расщепление (склеивание).
а) A&B A& B = A (1–ый закон расщепления);
б) (AB) & (A B) = A (2–ой закон расщепления).
8. Двойное отрицание.
( A) = A.
9. Свойства констант.
а)A&1 = A; б) A&0 = 0; в)A1 = 1; г) A0 = A; д) 0= 1; е) 1= 0.
10. Закон противоречия.
A& A = 0.
11. Закон “исключенного третьего”.
A A = 1.
Каждая из перечисленных равносильностей может быть доказана с помощью таблиц значений функций, составленных для выражений, стоящих слева и справа от символа “=”.
Следующие важные равносильности показывают, что все логические операции могут быть выражены через операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания:
12. A B = AB = (A& B).
13. A ~ B = (AB)&(BA) = (A&B) ( A& B) .
14. A В=(A& B) ( A&B).
15. A¯B = (AB) = A& B.
16. AïB = (A&B) = A B.