4.5. Пути, контуры в ориентированном графе

Понятия пути, контура в ориентированном графе аналогичны понятиям цепи, цикла в неориентированном графе.

Путем ориентированного графа называется последовательность дуг, в которой конечная вершина всякой дуги, отличной от последней, является начальной вершиной следующей дуги. Число дуг пути называется длиной пути.

Путь называется контуром, если его начальная вершина совпадает с конечной вершиной.

Путь (контур), в котором все дуги различны, называется простым. Путь (контур), в котором все вершины, кроме первой и последней, различны, называется элементарным. Гамильтонов путь (контур) − простой путь (контур), проходящий через все вершины. Эйлеров путь (контур) − путь (контур), содержащий все дуги графа по одному разу. Путь из v_i в v_j называется кратчайшим, если он содержит наименьшее число дуг по сравнению со всеми другими путями из v_i в v_j.

Отметим, что понятиям ребра, маршрута, цепи, цикла в неориентированном графе соответствуют понятия дуги, пути, ориентированной цепи, контура в ориентированном графе.

Пример 4.8. В приведенном на рис 4.4 орграфе выделим следующие пути:

(v₁,v₂,v₃,v₄) – простой элементарный путь, т.к. каждая вершина и каждая дуга используются не более одного раза;

Рис. 4.4

(v₂,v₅,v₆,v₇,v₂) – простой элементарный контур, т.к. это замкнутый путь, в котором все дуги и вершины, кроме первой и последней, различны;

(v₁, v₂,v₃,v₄,v₅,v₆) – Гамильтонов путь.

4.6. Связность. Матрицы достижимости и связности

Говорят, что вершина w графа (орграфа) G достижима из вершины v, если либо w=v, либо существует маршрут (путь) из v в w.

Граф (орграф) называется связным (сильно связным), если для любых двух его вершин v, w существует маршрут (путь), соединяющий v и w.

Компонентой связности графа (сильной связности орграфа) G называется его связный (сильно связный) подграф, не являющийся собственным подграфом никакого другого связного (сильно связного) подграфа графа G (ориентированного графа G).

Пусть А=A(G) – матрица смежности псевдографа G=(V,X) (ориентированного или неориентированного). Обозначим через A^k=[a^(k)_ij] k-ю степень матрицы смежности A.

Элемент a^(k)_ij матрицы A^k ориентированного псевдографа (псевдографа) G равен числу всех путей (маршрутов) длины k из v_i в v_j.

Матрица достижимости ориентированного графа G − квадратная матрица T(G)=[t_ij] порядка n, элементы которой равны:

Матрица сильной связности ориентированного графа G − квадратная матрица S(G)=[s_ij] порядка n, элементы которой равны:

Матрица связности графа G − квадратная матрица S(G)=[s_ij] порядка n, элементы которой равны

4.7. Деревья

Неориентированным деревом (или просто деревом) называется связный граф без циклов. Этому определению эквивалентны следующие определения:

а) дерево есть связный граф, содержащий n вершин и n - 1 ребер;

б) дерево есть граф, любые две вершины которого можно соединить простой цепью.

Если граф несвязный и не имеет циклов, то каждая его связная компонента будет деревом. Такой граф называется лесом.

Пример 4.9. Графы, изображенные на рис. 4.5, являются деревьями. Можно интерпретировать рис. 4.5 как лес, состоящий из трех деревьев.

Рис. 4.5

Остовным деревом связного графа G называется любой его подграф, содержащий все вершины графа G и являющийся деревом.

Пример 4.10. Для графа, изображенного на рис. 4.6 а), графы на рис. 4.6 б) и 4.6 в) являются остовными деревьями.

Рис. 4.6

Пусть граф G имеет n вершин и m ребер Так как всякое дерево с n вершинами по определению имеет n – 1 ребер, то любое остовное дерево графа G получается из этого графа в результате удаления m – (n – 1) = m – n + 1 ребер. Число g = m – n + 1 называется цикломатическим числом графа.