4.2. Матричные способы задания графов
Для алгебраического задания графов используются матрицы смежности и инцидентности.
Матрица смежности A = (aij) определяется одинаково для ориентированного и неориентированного графов. Это квадратная матрица порядка n, где n - число вершин, у которой
Для псевдографа соответствующие элементы матрицы смежности можно принимать равными кратности ребер (дуг).
Матрица смежности полностью задает граф.
Пример 4.3. Обозначим через Ak матрицы смежности графов Gk, изображенных на рис. 4.1, k=1, 2, 3, 4. Матрицы смежности графов имеют вид:
A1
=
;
A2=
;
A3=
;
A4=
.
Матрицей инцидентности B = (bij) ориентированного графа называется прямоугольная матрица (n ´ m), где n – число вершин, m – число ребер, у которой
bij
=
Для неориентированного графа матрица инцидентности B задается следующим образом:
bij
=
Пример 4.4. Обозначим через Вk матрицы графов Gk, изображенных на рис. 4.1, k=1, 2, 3, 4. Матрицы инцидентности графов имеют вид:
В1
=
;
В2=
;
В3=
;
В4=
.
Матрица инцидентности, также как и матрица смежности, полностью задает граф.
Основные свойства матриц смежности и инцидентности
1. Матрица смежности неориентированного графа является симметричной. Для ориентированного графа это, вообще говоря, неверно.
2. Сумма элементов i-ой строки или i -го столбца матрицы смежности неориентированного графа равна степени вершины vi.
3. Сумма элементов i-ой строки матрицы смежности ориентированного графа равна числу дуг, исходящих из vi.
4. Сумма элементов i-го столбца матрицы смежности ориентированного графа равна числу дуг, входящих в вершину vi.
5. Сумма строк матрицы инцидентности ориентированного графа без петель является нулевой строкой.
4.3. Изоморфизм графов
Графы G1 = (V1, X1) и G2 = (V2, X2) изоморфны, если существует взаимно однозначное соответствие между множествами вершин V1 и V2, такое, что любые две вершины одного графа соединены тогда и только тогда, когда соответствующие вершины соединены в другом графе.
Пример 4.5. Графы, изображенные на рис. 4.2 являются изоморфными.
Рис.4.2
Изоморфные графы отличаются только нумерацией вершин. Матрицы смежности двух изоморфных графов могут быть получены одна из другой перестановкой строк и столбцов. Чтобы узнать, являются ли два графа изоморфными, нужно произвести все возможные перестановки строк и столбцов матрицы смежности одного из графов. Если после какой-нибудь перестановки получится матрица смежности второго графа, то эти графы изоморфны. Чтобы убедиться, что графы неизоморфны, надо выполнить все n! возможных перестановок строк и столбцов.
4.4. Маршруты, циклы в неориентированном графе
Пусть G - неориентированный граф. Маршрутом или цепью в G называется такая последовательность (конечная или бесконечная) вершин и ребер v0, x1, v1, x2, v2,... ,vn-1, xn, vn,..., что каждые соседние два ребра xi и xi+1 имеют общую инцидентную вершину vi. Одно и то же ребро и/или вершина могут встречаться в маршруте несколько раз. Маршрут полностью задается последовательностью ребер (x1, x2,..., xn,...) или последовательностью вершин (v0, v1, v2,.. vn,..). В конечном маршруте (x1,x2,...xn) имеется первое ребро x1 и последнее ребро xn. Вершина v0, инцидентная ребру x1, но не инцидентная ребру x2, называется началом маршрута, а вершина vn, инцидентная ребру xn, но не инцидентная ребру xn-1, называется концом маршрута.
Длиной (или мощностью) маршрута называется число ребер, входящих в маршрут, причем каждое ребро считается столько раз, сколько оно входит в данный маршрут.
Пример 4.6. В изображенном на рис. 4.3 графе рассмотрим два маршрута из вершины v1 в вершину v4: M1 = (x1, x4, x6) и M2 = (x1, x3, x5, x6). Длина маршрута M1 равна 3, а длина маршрута M2 равна 4
Рис.4.3
Замкнутый маршрут называется циклом.
Маршрут (цикл), в которой все ребра различны, называется простой цепью (циклом). Маршрут (цикл), в которой все вершины, (кроме первой и последней), различны, называется элементарной цепью (циклом). Гамильтонова цепь (цикл) − простая цепь (цикл), проходящая через все вершины. Эйлерова цепь (цикл) − цепь (цикл), содержащая все ребра графа по одному разу.
Пример 4.7. В приведенном на рис 4.3 графе выделим следующие маршруты:
(x1,x4,x6) – простая элементарная цепь длины 3, т.к. все ребра и вершины попарно различны;
(x1,x3,x2) – простой элементарный цикл, т.к. это замкнутый маршрут, у которого все ребра и вершины, кроме первой и последней, различны;
(x1,x3,x5,x4) – цепь, которая является простой, но не элементарной;
(x1,x3,x3) – цепь длины 3, не являющаяся ни простой, ни элементарной цепью, т.к. ребро x3 и вершина v2 встречаются дважды;
(x1,x3,x5,x6) – Гамильтонова цепь.