7.2. Кинетическая энергия атт в частных случаях движения

• Поступательное движение АТТ.

В случае поступательного движения АТТ все ее точки движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости движения центра масс АТТ: . В случае поступательного движения НМС примет вид:

. (7.7)

• Вращательное движение АТТ вокруг неподвижной оси z.

В случае вращательного движения АТТ все ее МТ движутся со скоростями , где - кратчайшее расстояние от -й МТ до оси вращения. В случае вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси z примет вид:

. (7.8)

• Плоскопараллельное движение АТТ.

В случае плоскопараллельного движения АТТ в каждый момент времени движение АТТ можно рассматривать как мгновенное вращательное движение относительно оси, перпендикулярной неподвижной (основной) плоскости и проходящей через мгновенный центр скоростей .

,

где – момент инерции АТТ относительно мгновенной оси, перпендикулярной к неподвижной плоскости движения и проходящей через мгновенный центр скоростей.

, (7.9)

где – скорость центра масс АТТ.

7.3. Теорема Кенига

Теорема: Кинетическая энергия СМТ в общем случае движения равна сумме кинетической энергии центра масс в предположении, что в нем сосредоточена вся масса СМТ, и кинетической энергии СМТ при ее движении относительно подвижной системы отсчета, перемещающейся вместе с центром масс поступательно.

Доказательство.

Введем подвижную систему отсчета с началом в центре масс С, движущуюся поступательно относительно основной инерциальной системы отсчета. Представим скорость -й МТ, входящей в СМТ, относительно основной системы отсчета в виде (Ч.1 Кинематика):

, где – скорость движения центра масс СМТ, а – скорость -й точки СМТ по отношению к подвижной системе отсчета.

Подставив это выражение в соотношение получим:

где – масса всей системы, – кинетическая энергия СМТ при ее движении относительно подвижной системы отсчета, перемещающейся вместе с центром масс поступательно.

, так как .

. (7.10)

§ 8. Принцип Даламбера для смт (в двух формах)

Рассмотрим СМТ, состоящую из МТ с массами m₁, m₂,… m_n. Выделим какую-нибудь из МТ этой СМТ с массой m_k и обозначим равнодействующую всех приложенных к ней внешних сил через , а равнодействующую всех внутренних сил, приложенных к ней же, через . Обозначив через – силу инерции, на основании принципа Даламбера для МТ – соотношение для всех МТ рассматриваемой СМТ, будем иметь:

+ + = О ( k = 1,2,…,n). (8.1)

Принцип Даламбера для СМТ:

Действующие на каждую МТ движущейся СМТ внешние и внутренние силы можно в любой момент времени уравновесить добавлением к ним силы инерции.

Из системы равенств (8.1) можно получить принцип Даламбера для СМТ в другом виде. Просуммируем равенства (8.1) по n точкам СМТ:

.

Первое слагаемое этого соотношения представляет собой главный вектор всех внешних сил, а второе слагаемое – главный вектор всех внутренних сил:

,

а третье слагаемое – главный вектор всех сил инерции:

. (8.2)

Окончательно получим:

. (8.3)

Выбрав в качестве полюса точку О, умножим обе части k-го равенства (8.1) слева векторное на радиус-вектор , определяющий положение k – й МТ относительно этого полюса, и просуммируем полученное выражение по n точкам СМТ:

С учетом формулы для момента силы относительно точки (Ч.2 Статика) это выражение примет вид:

Первое слагаемое равенства представляет собой главный момент внешних сил относительно центра О:

,

второе слагаемое – главный момент всех внутренних сил относительно центра О:

а третье слагаемое – главный момент всех сил инерции относительно того же центра О:

.

Окончательно получаем

. (8.4)

Принцип Даламбера для СМТ: Главный вектор всех внешних сил, действующих на движущуюся СМТ, можно в любой момент уравновесить главным вектором всех сил инерции, а главный момент всех внешних сил, действующих на движущуюся СМТ, относительно какого-либо центра можно в любой момент уравновесить главным моментом всех сил инерции относительно того же центра

16