нефти и газа

а) Закон (ряд) распределения случайной величины ξ :

ПРИМЕР 2. Дана плотность вероятности случайной величины ξ:

0, x 0

f ( x) Cx, 0 x 4

0, x 4

Найти: а) коэффициент С; б) функцию распределения F(х); в) ве-

роятность Р{ξ >1}; г) вероятность Р{0,5 < ξ < 5}; д) математическое ожидание Mξ, дисперсию Dξ и медиану Me; е) построить графики плотности вероятности f (x) и функции распределения F(x).

Решение.

б) функцию распределения F(х) на интервале (0;4) выразим через плотность вероятности по формуле

70

Для медианы имеем F(Me) = 0,5. Воспользовавшись найденным выше выражением для функции распределения, получим

(Me)2 / 16 0,5. Отсюда Me 22 ;

е) плотность вероятности f (x) изображена на рис. 13, а функция распределения F(x) на рис.14.

71

Важнейшие числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин

72

Задачи к разделу 7

7.1. Случайная величина имеет математическое ожидание 3 и дис-

персию 12. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины 3 + 7.

7.2. Дискретная случайная величина задана законом распределения

Найти: а) математическое ожидание, дисперсию и среднее квад-

ратическое отклонение случайной величиной ; б) вероятность

Р{ξ >0}; в) условную вероятность Р{ξ > 0 / ξ > – 2}; г) условную ве-

роятность Р{ξ >1 / ξ < 4}. Построить график функции распределения случайной величины .

7.3. Число попыток сдачи экзамена по высшей математике для сту-

дентов кулинарного техникума является случайной величиной , рас-

пределенной по следующему закону:

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной вели-

чиной , а также вероятность того, что студент сдаст экзамен не бо-

лее чем с трех попыток.

73

7.4. Студенты решили, что оценки, которые ставят два экзаменатора,

представляют собой случайные величины и , имеющие законы распределения:

pi 0,25 0,15 0,05 0,45

(Клякса поставлена одним из авторов! К ним можно обращаться за исходным значением вероятности).

Найти: а) математическое ожидание и дисперсию случайной ве-

личины; б) условные вероятности: P{ 8 / 1}, P{ 1 / 8}.

7.6. Из колоды в 36 карт наугад берут три карты. Случайной величи-

ной является: а) – количество вынутых карт трефовой масти; б) –

количество тузов; в) – количество карт красной масти. Найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение каждой из случайных величин , , .

7.7. Известно, что каждый пассажир, забронировавший билет, с веро-

ятностью 1/10 отказывается от полета. Авиакомпания A продает 10

билетов на свой 9-местный самолет, а авиакомпания B ‒ 20 билетов на 18-местный самолет (эта практика называется «овербукингом»).

74

Какая из компаний чаще отказывает в посадке пассажиру, заказавше-

му билет, в связи с отсутствием мест в самолете?

7.8. Доказать, что дисперсия числа появлений успеха при однократ-

ном проведении опыта не может быть больше 0,25.

7.9. Найти математическое ожидание и дисперсию числа очков, вы-

падающих при однократном бросании игральной кости.

7.10. Монета бросается дважды. Найти закон распределения количе-

ства выпавших "орлов". Определить Mξ, Dξ и .

7.11.Найти закон распределения количества выпавших "решек" при трехкратном бросании монеты. Определить Mξ, Dξ и .

7.12.Случайная величина имеет плотность вероятности f (x) и

функцию распределения F(x). Как изменятся графики этих функций,

если

а) к случайной величине прибавить 1;

б) от случайной величины отнять 2;

в) умножить случайную величину на 2;

г) изменить знак случайный величины на противоположный?

7.13. Какими свойствами обязательно обладает функция распределе-

75

7.14. Какими свойствами может обладать плотность распределения

7.15. Может ли функция

0, x 0,2

φ( x) x, x 0,1

x 1, x 1,2

быть плотностью вероятности случайной величины? Функцией рас-

пределения?

быть плотностью вероятности случайной величины? Функцией рас-

пределения?

7.17. Количество нефти в резервуаре представляет собой случайную величину. Может ли ее функция распределения иметь какой-либо из графиков, изображенных на рис.15? Какова особенность наполнения резервуара нефтью в каждом из возможных случаев?

76

Рис. 15. К задаче 7.18

7.18.Может ли второй начальный момент v2 случайной величины быть больше её дисперсии?

7.19.Случайная величина имеет плотность

2x, x 0,1 f ( x)

0, x 0,1

а) Не проводя вычислений, определить знак центрального момента третьего порядка 3. б) Найти медиану Me.

7.20. Случайная величина задана функцией распределения F(x). Вы-

яснить, является ли случайная величина непрерывной. Найти ее плотность вероятности f (x), если она существует. Построить графики

F(x) и f (x).

77

7.21. Случайная величина имеет плотность вероятности (закон Ре-

лея):

Найти функцию распределения F(x). Построить графики F(x) и f (x)

при a = 0,5.

7.22. Случайная величина имеет плотность вероятности (закон Лап-

ласа):

f (x) = ae |x|, const 0 .

Найти коэффициент a и функцию распределения F(x). Построить графики F(x) и f (x).

7.23. Случайная величина имеет плотность вероятности

78

Найти: а) функцию распределения случайной величины ; б) веро-

ятность события A = {0,2 < < 0,9}; в) медиану Me.

7.24. Пусть плотность вероятности случайной величины задается формулой

= {0 < < 2}, а событие A2 = {4 < < 5}.

7.25. Случайная величина распределена по закону Симпсона (рис.

16). Написать выражение для плотности вероятности. Найти функ-

цию распределения и построить ее график. Определить вероятность

P{ – a/2 < < a}.

f (x) a

Рис. 16. Закон Симпсона

7.26. Точка брошена в круг радиуса R. Вероятность ее попадания в любую область внутри круга пропорциональна площади этой облас-

79