нефти и газа

1.15. Сколькими способами можно рассадить 8 кроликов в четыре разные клетки? Рассмотреть случаи: а) все кролики одинаковы (т.е

имеет значение лишь их количество, попавшее в каждую из клеток);

б) кролики различаются по именам.

1.16. В буфете университета продаются пирожные 4 видов: «Наполе-

он», «Эклер», «Песочное» и «Корзиночка». Студенка решила вместо обеда купить 7 пирожных. Сколькими способами она может это сде-

лать?

1.17.Сколько нужно словарей, чтобы переводить с любого из пяти языков на любой другой из них?

1.18.Какой коэффициент окажется перед слагаемым, содержащим множитель a16b4 , если раскрыть скобки в выражении (2a b)20 ?

1.19.В урне лежит 3 красных, 6 черных и 7 белых шаров. Сколькими способами можно вынуть 5 шара. (Способы отличаются количеством выбранных шаров того, или иного цвета).

1.20.Группа из 25 студентов сдает экзамен по математике. Сколько существует исходов экзамена. (Рассмотреть задачу с точки зрения де-

каната, для которого нет различия между студентами, и с точки зре-

ния группы).

1.21. Студент решил позвать одну из своих 5 подруг на концерт и по-

слал каждой из них по письму с приглашением? Сколько вариантов похода на концерт есть у студента?

10

2.Алгебра событий

Событие, относящиеся к результату некоторого испытания (экс-

перимента), которое при выполнении некоторого комплекса

условий может либо произойти, либо не произойти, называется слу-

чайным событием.

Событие, которое в результате испытания:

–обязательно наступит, называется достоверным событием;

–никогда не может наступить, называется невозможным со-

бытием.

Случайные события обычно обозначаются латинскими буквами

A, B, C, D, …; достоверные события – , невозможные – .

Суммой двух событий A и B называется событие C = A + B,

(или иначе, C = A B), которое произойдет, если произошло хотя бы одно из этих событий: A или B (рис. 1а).

Произведением двух событий A и B называется событие

C = A B, (или C = A B), которое произойдет, если произошли од-

новременно оба события A и B (рис. 1б).

Разностью двух событий A и B называется событие

C = A – B (или C = A \ B), которое произойдет, если произошло собы-

тие A, но не произошло событие B (рис. 1в).

11

Событие A = \ A называется противоположным событию

A. Оно наступает тогда и только тогда, если не происходит событие A

(рис. 2а).

Если каждое появление события A влечет за собой появление события B, то говорят, что из A следует B, и пишут: A B, или

A B (рис. 2б). Если одновременно имеют место два соотношения A B и B A, то события A и B называют равносильными и за-

писывают A B.

События A и B называются несовместными в данном испы-

тании, если они не могут произойти одновременно, т.е. A B = .

Полной группой событий называются такие события А, В,

С, …, что при всякой реализации заданного комплекса условий обя-

зательно происходит хотя бы одно из них, то есть А+ В + С + … = .

12

Замечание 1. В соответствии с данным определением события в полной группе могут быть совместными. В литературе встречается определение полной группы событий, включающее требование об их несовместности.

ПРИМЕР 1. Бросается игральная кость. Событие А ‒ выпало четное число очков, событие В ‒ выпало не более трех очков, собы-

тие С ‒ выпало пять очков. Образуют ли эти события полную группу?

Решение. Имеем

А = {2, 4,6}; В = {1, 2,3}; С = {5}

Тогда А+ В + С = {1,2,3,4,5,6}. То есть события А, В, С образуют полную группу. При этом А и В ‒ совместные события.

Замечание 2. Действия над событиями могут быть проиллюст-

рированы с помощью диаграмм Bенна, которые и представлены на рис.1 и 2.

ПРИМЕР 2. Пусть А, В и С – события, означающие попадание точки соответственно в области А, В и С (рис. 3а). Что означает событие

А В+ С?

A A

C C

Рис. 3. Иллюстрации к примеру 2

13

Решение. Событие А В+ С означает попадание в область

(А В) С, которая заштрихована на рис. 3б.

ПРИМЕР 3. Староста студенческой группы факультета АиВТ представил в деканат отчет, в котором говорилось: «В группе учатся

27 студентов, из которых 15 юношей и 12 девушек. Не имеют задол-

женности по математике 18 студентов, из них 9 юношей. Занимаются спортом 17 человек, среди которых 10 юношей и 6 успевающих. Трое юношей не имеют задолженностей и не занимаются спортом». Одна-

ко, хорошо знающий математику декан факультета, тут же указал старосте на ошибку в подсчетах. В чем состояла ошибка старосты?

Решение. Изобразим группу студентов на диаграмме Венна.

Заштрихованная часть представляет юношей. Длинной пунктирной линией ограничена часть студентов без задолженности по математи-

ке, коротким пунктиром ‒ спортсмены. Соответствующие области за-

нумерованы. Например, область (1) ‒ юноши, не сдавшие математику и не занимающиеся спортом, (5) ‒ девушки, спортсменки и без за-

долженностей. Таким же образом будем обозначать количество сту-

дентов соответствующей категории.

(2)+ (4) = 9 (юноши, сдавшие математику)

(3)+ (5) = 9 (девушки, сдавшие математику)

(4)+ (6) = 10 (юноши ‒ спортсмены)

(5)+ (7) = 7 (девушки ‒ спортсмены)

14

(4) + (5) = 6 (успевающие спортсмены)

(2) = 3 (юноши ‒ не спортсмены и без долга)

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 3

Из последних шести соотношений легко находится, что (4) = 6,

(6) = 4, (5) = 0, (7) = 7, (3) = 9. Подставив их в первые два равенства,

получим

Получено противоречие. Из доклада старосты следует, что коли-

чество девушек, имеющих долг по математике и не занимающихся спортом, отрицательно. Староста, действительно, ошибся.

Задачи к разделу 2

2.1. В семье четверо детей. Совместны ли события: A ‒ в семье не ме-

нее двух сыновей; B ‒ в семье не менее двух дочерей? Образуют ли эти события полную группу?

2.2.Монета бросается пять раз. Будут ли несовместными события:

A ‒ не менее трех раз выпал орел;

B ‒ решка выпала, по крайней мере, два раза?

Образуют ли эти события полную группу?

15

2.3. Бросаются две игральные кости. Будут ли несовместными собы-

тия:

A ‒ хотя бы на одной кости выпало не более четырех очков.

B ‒ сумма выпавших очков не менее одиннадцати.

Образуют ли события полную группу?

2.4. Какие из написанных ниже утверждений верны для призвольных событий A, B, C:

2.5. Судно имеет одно рулевое устройство, 4 котла и 2 турбины. Со-

бытие А означает исправность рулевого устройства, Вk исправность k-го котла (k = 1, 2, 3, 4), событие Сi исправность i-той турбины

(i = 1, 2). Событие D судно управляемо обеспечивается при ис-

правности рулевого управления, хотя бы одного из котлов и хотя бы одной турбины. Выразить событие D через события А, Вk и Сi.

2.6. На уборку картошки поехали 92 студента. Большинство из них для дневного перекуса взяло с собой бутерброды, но мамы некоторых

(самых счастливых) студентов вместо бутербродов испекли им пи-

рожки с мясом. Известно, что у 47 человек были с собой бутерброды с колбасой, у 38 – с сыром, у 42 – с ветчиной. Бутерброды и с сыром,

и с колбасой взяли 28 студентов; с колбасой и с ветчиной – 31 сту-

дент; с сыром и с ветчиной – 26 студентов. Все три вида бутербро-

16

дов взяли 25 человек. Сколько было чадолюбивых мам, которые ис-

пекли своим детям пирожки?

2.7. В группе аспирантов каждый знает хотя бы один иностранный язык. Шестеро знают английский, шестеро – немецкий, семеро – французский. Четыре аспиранта знают английский и немецкий языки,

трое – немецкий и французский, двое ‒ английский и французский.

Один человек знает все три языка. Сколько аспирантов в группе?

Сколько из них знают только английский язык; только французский?

2.8. Электрические цепи составлены по схемам, изображенным на рис. 4 а), б), в), г). Событие Аk (k = 1, 2) элемент ak исправен, собы-

тие Вi (i = 1, 2) элемент bi исправен, событие С исправен элемент c. Для каждой из схем записать событие Е по цепи проходит ток, а

также противоположное событие E (цепь разорвана).

a2

Рис. 4. К задаче 2.8

17

2.9. Деканат решил проконтролировать посещение лекции по высшей математике четырьмя нерадивыми студентами. Каждый из них на выбранной для контроля лекции может либо присутствовать, либо не нет. Рассматриваются события:

A на лекции был ровно один из 4-x студентов;

B на лекции был хотя бы один из этих студентов;

Cна лекции было не менее 2-х студентов;

Dна лекции было ровно 2 студента;

Eна лекции было ровно 3 студента;

Fна лекции были все 4 студента.

Описать события:

1) A + B; 2) AB; 3) B + C; 4) BC; 5) D + E + F; 6) BF.

Совпадают ли события BF и CF ; BC и D ?

2.10. Нефтеналивной порт имеет 5 причалов. События: A занято четное число причалов, В занят хотя бы один причал. Описать со-

бытия A + B и AB.

2.11. Что представляют собой события ABС и A + B + С, если

2.13. Событие A состоит в том, что при сдаче экзамена по математике хотя бы один из трех студентов получил положительную оценку. Что представляет собой событие A ?

18

2.14. Связь между вычислительным центром и управлением магист-

ральных трубопроводов осуществляется по трем каналам. По каждо-

му каналу может быть передан сигнал Ai , (i 1,2,3) о нормальной ра-

боте или Ai ‒ об отказе. При передаче сигнал может быть искажен,

поэтому информация считается верной только в том случае, если хотя бы два канала передали одинаковый сигнал. Выразить события: B ‒

принят сигнал о нормальной работе объекта; C ‒ принят сигнал об отказе.

2.15. Бросается игральная кость. Рассматриваются события: A – выпа-

ло четное число очков; B – выпало нечетное число очков; C – выпало число очков, большее трех. Описать события: (A + B) C, A C + + B,

B C + A, (A + C) B.

2.16. Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Определены собы-

тия: А – вынута дама; В – вынута карта черной масти; С – вынута да-

ма пик. Дать описание событий: (A+B) C, A C +B, B C + A, (A +C) B.

2.17. У студента в тумбочке вперемешку лежат серые и черные носки.

Утром, собираясь в темноте на первую пару, он наудачу берет два носка. Пусть определены события: А – вынуты носки разных цветов,

В – ровно один из вынутых носков черный, С – вынуты носки одного цвета, D ‒ оба вынутых носка серые, E ‒ хотя бы один из вынутых носков серый, F ‒ не вынуто ни одного черного носка. Описать со-

бытия: (A + B) E, A C + F, B F ‒ D + A, A + B E, (B + F) C, (B ‒ D)

(E ‒ F). В каких из перечисленных случаев студент сможет поехать учиться? (В носках различного цвета на занятиях в университете по-

являться не принято).

19