нефти и газа

функции распределения и изобразить их графически. Пользуясь пра-

вилом "трех сигм", найти интервал, в который практически достовер-

но (с вероятностью 0,997) попадает случайная величина :

N (1, 2) . Какое событие более вероятно: 3 4 или –1 0 ?

8.5. Давление на выходе компрессорной станции представляет собой случайную величину, имеющую нормальный закон распределения с

A давление в системе превысит 5,4 106 Па,

Bдавление в системе не превзойдет 4,7 106 Па,

Cдавление в системе будет в пределах (4,9 5,2) 106 Па.

8.6. Суточный дебит скважины на газовом промысле можно считать случайной величиной , имеющей нормальный закон распределения с математическим ожиданием a = 1 106 м3 /сут и средним квадрати-

ческим отклонением = 0,2 106 м3 /сут. Найти вероятности событий:

2 N (0,1; 0, 09) . Каким прибором следует воспользоваться, чтобы вероятность относительной ошибки, превышающей 50%, была наи-

меньшей?

8.8. Участок газопровода между двумя компрессорными станциями

(КС) имеет длину 100 км. Появление утечки газа равновероятно в любой точке участка. Какова вероятность, что она произойдет ближе

10 км от одной из КС?

8.9. В условиях предыдущей задачи в середине газопровода имеется участок длиной 20 км, где из-за характера местности плотность веро-

ятности утечки в два раза выше, чем в остальной части газопровода.

Написать выражение для плотности вероятности и функции распре-

деления расстояния до места утечки газа. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Найти вероят-

ность, что утечка произойдет ближе 10 км от одной из КС.

8.10.Случайные величины 1 и 2 распределены по биномиальному закону с параметрами n1= 20, p1= 0,2 и n2= 20, p2= 0,3. Какое событие более вероятно: 1 8 или 2 8?

8.11.Случайные величины и распределены по экспоненциально-

му закону с параметрами 2 и 4 соответственно. Какое событие более вероятно: 0 3 или 0 3 ?

P { ( < 2 a ) / ( > a ) }, если a = 0,5.

91

8.13. Количество заявок от геологических партий на использование специальной аппаратуры представляет собой случайную величину,

распределенную по закону Пуассона. В среднем за месяц поступает

24 заявки. Найти вероятность событий:

А – за месяц будет более 24 заявок;

B – в течение 5 суток аппаратура будет простаивать;

C – на протяжении 10 суток поступит не менее 7 заявок.

8.14. Число отказов за год на участке магистрального трубопровода подчинено закону Пуассона с параметром a = 0,8 (1/год). Найти: а)

среднее время безотказной работы участка; б) через какой промежу-

ток времени вероятность появления отказа превысит 0,5? в) вероят-

ность того, что в течение трех лет будет не менее двух отказов.

8.15. Эксплуатируются 5 скважин, каждая из которых за месяц может,

независимо от других, выйти из строя с вероятностью 0,1. Необходи-

мая подача нефти обеспечивается, если исправны, по крайней мере, 3

скважины. Какова вероятность обеспечения необходимой подачи нефти?

8.16. Среди 12 одинаковых конденсаторов есть 2 перегоревших. Кон-

денсаторы по очереди вставляются в цепь, пока не будут выявлены оба перегоревших. Какова вероятность, что понадобится ровно 7 ис-

пытаний?

8.17. Бросается монета до первого появления "решки". Случайная ве-

личина равна количеству бросаний. Найти закон распределения случайной величины и вероятность события { < 3 }.

92

8.18. Бросается игральная кость до первого появления шестерки.

Случайная величина равна количеству бросаний. Найти закон рас-

пределения случайной величины и вероятность события { < 6 }.

8.19. На пути движения автомобиля 6 светофоров, на каждом из кото-

рых горит с вероятностью 0,5 зеленый свет, и с такой же вероятно-

стью – красный. Найти закон распределения случайной величины –

числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки.

8.20.Какова максимально возможная вероятность достижения двух успехов в серии из 3 испытаний Бернулли?

8.21.(Гамма – распределение). Время безотказной работы конденса-

торов хорошо описывается случайной величиной с плотностью ве-

роятности

где ( p) 0 x p 1e xdx – гамма-функция, для натуральных значений p удовлетворяющая равенству ( p) ( p 1)!. (Для натуральных p

гамма-распределение носит название распределения Эрланга).

а) Доказать, что при p=1 гамма-распределение совпадает с экс-

поненциальным;

б) найти функцию распределения случайной величины ;

в) для значений параметров p = 3, = 0,5 1/год определить веро-

ятность безотказной работы конденсатора в течение 3 лет;

93

г) доказать, что M = p , D = p2 .

8.22. (Логарифмически нормальное распределение). Плотность ве-

роятности случайной величины задана функцией

а) Построить график плотности вероятности логарифмически нор-

мального распределения.

б) Найти функцию распределения случайной величины и построить ее график.

в) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величи-

ны .

г) Найти вероятности событий: A = {0 < < 2}, B = {1 < }.

94

9.Системы случайных величин

Совокупность двух и более случайных величин называется сис-

темой случайных величин, или случайным вектором. Функ-

ция распределения пары случайных величин ξ, η (координат случай-

ного вектора) определяется формулой

F(x, y) P{ x, y}.

Для системы n случайных величин ξ1, …, ξn функция распреде-

ления определяется формулой

F(x1, x2...xn ) P{ 1 x1, 2 x2, ..., n xn}.

Функция распределения пары случайных величин обладает сле-

дующими свойствами:

1)F(x, y) не убывает по каждому из своих аргументов.

2)F( , ) F( , y) F(x, ) 0.

3)F( , ) 1.

4)F(x, ) F (x), F( , y) F ( y), где Fξ(x) и Fη(y) – функ-

ции распределения величин и η, соответственно.

Закон распределения пары случайных величин дискретного типа может быть задан матрицей

где x1, x2, …, xm – возможные значения величины ξ; y1, y2, …, yn –

возможные значения величины η. В ячейках таблицы расположены вероятности событий

pij P{ xi , y j}.

Вероятности pij удовлетворяют условиям:

1 ) pij 0 ,

Если величины ξ, η – непрерывного типа, то закон их совместно-

го распределения может быть задан плотностью распределения веро-

ятностей:

Плотность и функция распределения двумерной случайной вели-

чины связаны соотношениями:

Плотность вероятности f (x, y) пары случайных величин обладает

свойствами:

96

где f (x), f ( y) – плотности случайных величин ξ и η.

Вероятность попадания случайной точки в некоторую область D

выражается через плотность вероятности f (x, y) :

P{( , ) D} f ( x, y)dxdy.

D

Условные плотности распределения, т.е. плотности вероятно-

сти одной из случайных величин при условии, что другая принимает фиксированное постоянное значение, определяется формулами:

Случайные величины ξ, η называются независимыми, если их функция распределения равна произведению функций распределения компонент ξ и η:

F(x, y) = Fξ (x) Fη(y).

Для непрерывных независимых случайных величин ξ, η услов-

ные и безусловные плотности вероятностей совпадают: f (x/y) = fξ (x)

и f (y / x) = fη(y), а двумерная плотность равна произведению плотно-

стей компонент:

f (x, y) = fξ (x) fη(y).

97

Начальные моменты пары случайных величин ξ, η определяют-

ся формулами (k, s – целые, k, s 0 ):

Второй смешанный центральный момент μ11 называется корреля-

ционным моментом, (или ковариацией) случайных величин ξ и η:

K cov( , ) 11 M ( M )( M ) M M M .

Вместо корреляционного момента часто используют безразмерную величину

r K ,

называемую коэффициентом корреляции.

Замечание. Если две случайные величины независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю. Обратное утверждение, вооб-

98

ще говоря, неверно: если две случайные величины некоррелированы,

т.е. их коэффициент корреляции равен нулю, то они вовсе не обяза-

тельно являются независимыми.

Пусть ξ, η – произвольные случайные величины, μ11 – их корре-

ляционный момент, С – постоянная (не случайная) величина. Тогда математическое ожидание и дисперсия обладают следующими свой-

ствами:

1)М(С) = С;

2)М(Сξ) = C Mξ;

3)M(ξ + η) = Mξ + Mη;

4)M(ξ η) = Mξ Mη + μ11;

5)D 0;

6)D(С) = 0;

7)D(Сξ) = C2 Dξ;

8)D(ξ η) = Dξ + Dη 2μ11.

Вчастном случае некоррелированных случайных величин ξ и η

равенства 4) и 8) упрощаются и принимают вид:

Коэффициент корреляции r случайных величин ξ, η удовлетворя-

ет неравенству

– 1 r 1

Абсолютная величина коэффициента корреляции равна 1 в том и только в том случае, если ξ и η связаны линейной функциональной зависимостью

99