нефти и газа

V.V. Kalinin, N.O. Fastovets

PROBABILITY:

EXAMPLES AND PROBLEMS

in oil & gas matter

A Textbook

ИЗДАТЕЛЬСКИЙ

ЦЕНТР РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина

2014

В.В. Калинин, Н.О. Фастовец

ВЕРОЯТНОСТЬ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

для нефтегазового дела

Учебное пособие

Допущено Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерии по нефтегазовому образованию

в качесве учебного пособия для подготовки бакалавров по направлению 130500 «Нефтегазовое дело» и подготовке дипломированных специалистов

по направлению 130500 «Нефтегазовое дело» а также по направлению 130600 «Оборудование и агрегаты нефтегазового производства»

ИЗДАТЕЛЬСКИЙ

ЦЕНТР РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина

2014

УДК 519.25

К17

Рецензенты:

доктор физ.-мат. наук, профессор (МГУ им. М.В. Ломоносова) А.И. Матасов, доктор технических наук, профессор (Уфимский ГНТУ) Р.Г. Шарафиев

Калинин В.В., Фастовец Н.О.

К17 Вероятность в примерах и задачах для нефтегазового дела: Учебное пособие. Изд. 3-е доп. и испр. М.: Издательский центр РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина, 2014. 136 с.

ISBN 978-5-91961-107-3

Настоящее учебно-методическое пособие написано авторами на основе их многолетнего опыта преподавания теории вероятностей в системе высшего образования.

Пособие, в первую очередь, предназначено для студентов различных специальностей РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина и представляет собой систематизированную подборку задач и упражнений по темам курса теории вероятностей, изучаемым в рамках введенных новых Государственных стандартов, с учетом специфики нефтегазового образования.

В начале каждого раздела приведена сводка основных теоретических положений, понятий и формул, необходимых для решения задач. По каждому разделу теории вероятностей в пособии представлены и подробно разобраны примеры, в том числе из практики нефтегазовой и смежных отраслей.

Пособие будет также полезно магистрантам, аспирантам, инженерам и исследователям, применяющим вероятностные методы при решении практических задач.

2

Введение

еория вероятностей, как никакой другой раздел математики, может быть активно использована для описания окружающей нас действи-

тельности. Множество событий, происходящих в мире, носит случайный характер, или, по крайней мере, кажутся нам такими. Скажем, студент взял на экзамене билет и обнаружил, что ему достался тот единственный вопрос, который он не успел выучить. Автомобилист поехал на работу и из-за пробок провел в пути 2 часа вместо обычных 40 минут. Ваша люби-

мая черная собачка Пегги родила четырех черных щенков и, почему-

то, одного белого. Это всё проявления случайного. Конечно, в каждом из этих случаев можно докопаться до причин, по которым произошло то или иное событие: прадед Пегги был белого цвета, пробка образовалась из-за аварии, «плохой» билет лежал сверху. Чаще всего, однако, причин, при-

ведших к определенному событию либо слишком много, либо они вообще неизвестны. Так что, сложить руки и принимать случайность как неиз-

бежное?! Вовсе нет! Во многих случаях удается увидеть за множеством случайных явлений некоторые закономерности. Если вы подбрасываете монету один раз, то выпадение «орла» или «решки» случайно. Но если монета подброшена 100 раз, то количество «орлов» и «решек» близко к

50. Значит, закономерность все-таки есть, и именно теория вероятностей позволяет ее выявить.

Правда, и полностью полагаться на теорию вероятностей нельзя.

Приведем в этой связи два шуточных примера.

1.Известно, что на экзамене в ГАИ из общего числа пришедших 80

%(т.е. четыре пятых) не могут с первого раза сдать вождение автомоби-

ля. Вы пришли в ГАИ и узнали, что 4 человека до вас экзамен провалили.

Как вы думаете, резко ли возросли от этого ваши шансы сдать экзамен?

3

2. Как мы знаем, среди людей примерно половину составляют женщины, а

половину – мужчины. Молодой математик предложил поспорить и поста-

вил свой автомобиль против велосипеда, что среди первых 50 человек на улице окажется хотя бы одна женщина. Пожилой математик подумал и принял предложение. Когда они вышли на улицу, мимо как раз проходила рота солдат!

Эти два примера очень хорошо демонстрируют сильные и слабые стороны теоретико-вероятностного описания явлений. Если собрать дан-

ные о сдаче экзамена в ГАИ, скажем, за месяц, то число успешно сдавших,

действительно, оказалось бы близким к четырем пятым всех претенден-

тов. Если бы два математика простояли на улице целый день, то, скорее всего, выиграл бы молодой, поскольку число прохожих обоих полов ока-

залось бы приблизительно равным.

Для того чтобы научится использовать теорию вероятностей, пони-

мать ее возможности и ограничения, необходимо, прежде всего, научиться решать ее стандартные задачи. Настоящее пособие и ставит своей целью познакомить читателей с основными классами задач, решаемых методами теории вероятностей. В нем приведены сведения из теории, примеры ре-

шения задач и задачи для самостоятельного изучения. Издание предназна-

чено как для студентов, изучающих соответствующий курс, так и для спе-

циалистов, ставящих своей целью вспомнить основные подходы к реше-

нию задач теории вероятностей.

Материалы, связанные с данным изданием, можно найти на сайте кафедры высшей математики РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина: http://kvm.gubkin.ru

4

1. Элементы комбинаторики

омбинаторика – раздел математики, изучающий дискретные

Кобъекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисление элементов) и отношения на них. Комбинаторика отве-

чает на вопрос о том, сколько различных комбинаций, подчиненных определенным условиям, можно составить из заданных объектов.

Основные понятия комбинаторики:

 Перестановки. Пусть n объектов необходимо расположить в различных порядках следования друг за другом. Каждый способ расположения этих объектов называется перестановкой. Об-

щее количество перестановок из n объектов определяется вы-

ражением

Pn n (n 1) ... 1 n!

 Размещения без повторений. Пусть из общего количества n

объектов необходимо отобрать группу из m объектов с учетом порядка их следования. Каждый способ выбора этих объектов

называется размещением без повторения. Общее количест-

во возможных групп будет

Пусть n – количество раз-

личных видов объектов. В группу нужно отобрать m объектов с учетом порядка их следования, при этом элемент каждого вида

5

можно использовать несколько раз. Тогда общее число таких групп определяется выражением

Amn nm

 Сочетания получаются, если из общего количества n объек-

тов необходимо отобрать группу из m объектов без учета по-

рядка их следования. Число таких групп равно

ПРИМЕР 1. Мама оставила дочке к чаю три конфеты: Комиль-

фо, Рафаэлло и Ферреро Роше. Сколькими способами девочка может их съесть за чаем?

Решение. Дочь может съесть свои три конфеты в различных порядках. Общее количество способов равно числу перестановок из трех объектов:

P3 3! 1 2 3 6.

ПРИМЕР 2. В студенческой группе 25 человек. Сколькими спо-

собами группа может выбрать старосту и профорга?

Решение. Из 25 человек нужно отобрать двоих, причем поря-

док отбора имеет значение, т.к. староста и профорг ‒ различные должности. Общее количество способов равно количеству размеще-

ний из 25 элементов по 2:

6

ПРИМЕР 3. Студент во время проведения финала КВН позна-

комился с девушкой из другого вуза и записал номер ее телефона на клочке бумаги. Впоследствии он обнаружил, что две последние циф-

ры номера оторвались. Сколько времени ему понадобится, чтобы на-

верняка дозвониться до новой знакомой, если на набор каждого но-

мера уходит по 45 секунд?

Решение. Каждая из двух последних цифр номера может при-

нимать значение от 0 до 9, и цифры могут повторяться. Общее коли-

чество возможных номеров равно количеству размещений с повторе-

ниями из 10 цифр по 2 цифры:

A102 102 100.

Если каждый номер набирать 45 секунд, то студенту потребуется не более 100 45 4500 секунд, или 1 часа 15 минут.

ПРИМЕР 4. Для прохождения производственной практики на Московском НПЗ из группы, состоящей из 20 студентов, необходимо отобрать 5 человек. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Поскольку порядок отбора студентов не имеет значе-

ния (все пятеро попадут на НПЗ), то общее количество способов рав-

но количеству сочетаний из 20 элементов по 5:

19 18 17 16 19 3 17 16 15504. 3 2 1

7

Задачи к разделу 1

1.1. Из города А в город В ведут 5 дорог, а из города В в город С

‒ 7 дорог. Сколькими способами можно из города А проехать в город С через город В?

1.2. В финале конкурса должны выступить 6 пианистов. Порядок их выступления решили определить жребием. Сколько существует вари-

антов жеребьевки?

1.3. Код цифрового замка на портфеле содержит три набора по 10

цифр каждый (от 0 до 9). Рассеянный профессор забыл установлен-

ный им ранее код замка. Какое максимальное время придется потра-

тить ученому, чтобы открыть портфель, если на проверку каждого кода уходит 5 секунд?

1.4. В чемпионате России по футболу приняли участие 16 команд.

Сколькими способами они могут поделить призовые места?

1.5. В чемпионате России по футболу участвуют 16 команд. Две по-

следние по итогам сезона переходят во вторую лигу. Сколькими спо-

собами команды могут перейти во вторую лигу?

1.6.В симпозиуме приняли участие 16 ученых. При встрече они все обменялись рукопожатиями. Сколько всего состоялось рукопожатий?

1.7.Каждый из 72 студентов первого курса, присутствующих на лекции, поговорил по мобильному телефону с двумя своими товари-

щами, находящимися в той же аудитории. Какую сумму при этом за-

работали компании сотовой связи, если каждый разговор стоил 10

рублей?

8

1.8. Сколькими способами из колоды в 32 карты, можно отобрать 8

карт так, чтобы среди них оказалось ровно три туза?

1.9. После окончания первого курса 23 студента призывного возрас-

та c факультета экономики и менеджмента имеют более двух акаде-

мических задолженностей и подлежат отчислению. Военкомат дол-

жен призвать на военную службу 9 человек. Сколькими способами это можно сделать?

1.10. Полководец Суворов перед походом через Альпы решил женить

10 своих холостых солдат. В деревне, через которую шла армия, ока-

залось 15 подходящих по возрасту девушек. Сколькими способами Суворов может осуществить задуманное?

1.11. В автомобильных номерах каждого региона России должно быть три цифры и три буквы. Каково максимальное число номеров для ка-

ждого региона? (В номерах используются лишь те буквы, которые имеются в латинском алфавите).

1.12. На стоянке такси стоят 9 машин. Сколькими способами их могут занять четыре пассажира? Сколько существует способов рассадки,

если пассажиры должны сидеть в разных автомобилях?

1.13. Для игры в лотерее «Спортлото» необходимо отметить в кар-

точке 5 чисел из 36. Сколькими способами можно заполнить карточку лотереи?

1.14. Сколько различных трехбуквенных слов можно составить из слова «КАРАКАТИЦА»?

9