Построение эпюры углов закручивания.

Рассмотрим участки в отдельности. Неподвижное сечение находится в месте, где возникает реактивный момент М₄, поэтому начнем с участка III и найдем угол закручивания левой границы участка, выбирая за начало координат правый торец.

Участок III.

Угол закручивания любого сечения участка может быть выражен соотношением:

.

M_к3=М₁–М₂–М₃

Участок II.

Угол закручивания второго сечения участка может быть выражен соотношением:

.

Уравнение для крутящего момента М_К2(z) имеет вид:

M_к2=М₁–М₂,

Угол закручивания правого сечения второго участка бруса:

Общий угол закручивания сечения на конце второго участка бруса будет равным

рад.

Участок I.

Угол закручивания третьего сечения участка может быть выражен соотношением:

.

Уравнение для крутящего момента М_К1(z) имеет вид:

M_к1=М₁,

Угол закручивания правого сечения третьего участка бруса:

Найдем общий угол закручивания правого сечения на правом конце III участка:

=

рад.

Итак, по найденным значениям построим эпюру углов закручивания.

Задача 3. РАСЧЕТ СТАЛЬНОЙ БАЛКИ НА ПРОЧНОСТЬ

И ПОДБОР СЕЧЕНИЯ

Условие задачи

Стальная балка нагружена сосредоточенной силой F равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q и сосредоточенным изгибающим моментом М.

Принять допускаемое напряжение для материала профиля [σ]=16⋅10⁴ кН/м².

Необходимо:

1) определить реакции опор – только для балки с шарнирным закреплением;

2) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

3) проверить правильности построения эпюр по дифференциальным зависимостям при изгибе между Мх, Q и q;

4) найти опасное сечение и определить момент сопротивления балки из условия прочности по нормальным напряжениям;

5) определить требуемый номер профиля поперечного сечения.

Сравнить в опасном сечении максимальные нормальные напряжения с допускаемыми.

Определить, на сколько процентов балка недогружена или перегружена. Перегрузка при этом не должна превышать 5 %.

Вычертить сечение в масштабе 1:2.

l₁=1.0 м,

l₂=0.5 м,

l₃=0.4 м,

m=0 кНм,

F=10 кН,

q=20 кН/м.

Определение реакций опор.

Определим опорные реакции, для этого обозначим опоры левую – А, правую – В.

Выберем систему координатных осей y, z. Ось у направим по вертикали вверх; ось z – по оси бруса AВ вправо. В соответствии с видом каждой опоры приложим неизвестные опорные реакции R_Аy и R_Аz, R_В.

Направление неизвестных в ту или иную сторону назначается произвольно.

Запишем условия равновесия бруса АВ:

Из полученных уравнений определим неизвестные реакции опор:

Проведем проверку правильности определения опорных реакций, для этого должно удовлетворяться условие равновесия

8.210³–1010³–2010³0.5+11.810³=0

Найденные величины опорных реакций проставляются на схеме.

Построение эпюры поперечных сил и изгибающих моментов при изгибе.

Разобьем балку на три участка. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние (активные или реактивные) сосредоточенные силы или моменты, а также сечения, где начинается или оканчивается распределенная нагрузка или изменяется закон ее интенсивности по длине балки q = q(z).

Участок I.

Расстояние от свободного конца до сечения обозначим z₁.

z₁ изменяется в интервале [0≤ z₁<l₁].

Q(z₁)=R_A^y=8.2 кН

М(z₁)= R_A^yz₁

М(z₁=0)= R_A^y =0

М(z₁=l₁)= 8.2= 8.2 кНм

Аналогично по другим участкам.

Участок II.

Расстояние от свободного конца до сечения обозначим z₂.

z₂ изменяется в интервале [0≤ z₂<l₂].

Q(z₂)= R_A^y–F–qz₂

при z₂=0 Q(z₂=0)=8.2–10–200= – 1.8 кН

при z₂=0.5 м Q(z₂=0.5)=8.2–10–200.5= – 11.8 кН

М(z₂)= R_A^yl₁+z₂–Fz₂–qz₂²/2

М(z₂=0)= 8.21–0=8.2 кНм

М(z₂=l₂)= 8.2.5–10^= 4.7 кНм

Участок III.

Расстояние от свободного конца до сечения обозначим z₃.

z₃ изменяется в интервале [0≤ z₃<l₃].

Q(z₃)= –R_B= –11.8 кН

М(z₃)= R_Bz₁

М(z₃=0)= 0

М(z₃=l₃)= 11.80.4= 4.7 кНм

Определение опасного сечения и момента сопротивления балки.

Так как стальная балка по условию одинаково сопротивляется растяжению и сжатию [σ]_р=[σ]_cж=[σ]=16⋅10⁴ кН/м², то условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:

, где

W_x – осевой момент сопротивления опасного сечения.

Для подбора сечения балки и проектного расчета из условия прочности определяют требуемую величину осевого момента сопротивления

.

Итак, опасным сечением будет сечение, где действует М_{x max}.

Для балки видно, что М_{x max} = 8.2 кНм.

Определяем требуемую величину осевого момента сопротивления:

Определение требуемого номера профиля поперечного сечения.

Так как заданное сечение составное, то для нахождения размеров одного профиля (его номера), необходимо определить его момент сопротивления:

, где

I_x – осевой момент инерции составного сечения, находится по зависимостям, полученным при параллельном переносе осей

Тогда

(*)

По таблице сортамента для заданного стандартного профиля-двутавра находим номер профиля, для которого условие (*) выполняется.

Выбираем двутавр №10.

см³, что больше W_x=51 см³.

Следовательно, прочность балки обеспечена.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов: Учеб. для техн. Вузов. –5-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1989. – 624 с.

2. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов: Учеб. для техн. Вузов. – 10-е изд., перераб. –М.: Наука, 1998. – 420 с.

3. Гафаров Р. Х., Жернаков В. С. Что нужно знать о сопротивлении материалов: Учеб. пособие / Под ред. В. С. Жернакова. – М.: Машиностроение, 2001. – 276 с.

4. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов: Учеб. пособие для техн. вузов / И. Н. Миролюбов, С. А. Енгалычев, Н. Д. Сергиевский и др. – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1985. – 399 с., ил.

5. Сборник задач по сопротивлению материалов/ Под ред. В. К. Качурина. – Гл. ред. Физ.-мат. литературы изд. «Наука». – М., 1972. – 432 с.