Министерство образования и науки Российской Федерации

Уфимский государственный авиационный технический университет

Дисциплина: Сопротивление материалов

Расчетно-графическая работа

Вариант № 2489

Выполнил:

студент группы МА 202Т Хабибуллин Р.Р.

Принял: ст. преподаватель Валиев Р. Ш.

Срок выполнения работы по плану:

Фактический срок выполнения:_____________

Туймазы 2014

Задача 1. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ СТУПЕНЧАТОГО БРУСА

ПРИ ОСЕВОМ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ

Условие задачи

Ступенчатый брус нагружен равномерно распределенными нагрузками интенсивностью q₁ и q₂ и осевыми сосредоточенными силами F₁ и F₂.

Необходимо:

1) построить эпюру нормальных сил;

2) построить эпюру напряжений, отнесенных к площади поперечного сечения;

3) найти площадь из условия прочности;

4) построить эпюру напряжений;

5) построить эпюру перемещений.

Изобразим расчетную схему согласно заданным. На расчетной схеме все внешние силы действуют вдоль оси бруса. Следовательно, в поперечных сечениях рассматриваемого бруса возникают только продольные (нормальные) силы.

Построение эпюры нормальных сил.

Определим нормальные силы с помощью метода сечений. Разобьем брус на три участка, начиная от правого незакрепленного конца. Произвольными сечениями последовательно на каждом участке рассечем мысленно брус на две части. При этом координату проведенного сечения z можно отсчитывать от начала первого участка. Удобнее при построении эпюры нормальных сил пользоваться подвижной системой осей координат, центр которой помещается в начале каждого участка. Тогда координата z на каждом участке бруса отсчитывается от начала этого участка. Отбрасывая закрепленную часть бруса, заменим действие отброшенной части неизвестной нормальной силой N_i (z_i), которую направляем в сторону от рассматриваемого сечения, т.е. считаем положительной (растягивающей). Тогда условие равновесия отсеченной части бруса дает величину и соответствующий знак нормальной силы.

Составим уравнение равновесия в виде суммы проекций на ось бруса всех сил, действующих на правую его часть и найдем на участке I нормальную силу в сечении.

l₁=1.5 м, l₂=2 м, l₃=2 м, q₁=10 кН/м, q₂=0, F₁=30 кН, F₂=20 кН, сталь 30ХМ.

Участок I.

Расстояние от свободного конца до сечения обозначим z₁, z₁ изменяется в интервале [0 ≤z₁<l₁]

∑ZN₁ (z₁)–F₁; N₁ (z₁) F_ кН,

Участок II [0≤z₂<l₂],

ΣZ = N₂ (z₂) –F₁–F₂ – q₁z₂,

отсюда

N₂(z₂ ) = F₁ + F₂ +q₁z₂,

при z₂ = 0:

N₂ (z₂) = F₁ +F₂ = 30+20=50 кН.

при z₂ = l₂:

N₂(z₂ ) = F₁ + F₂ +q₁l₂=30+20+102=70 кН

Участок III [0 ≤z₃<l₃],

ΣZ = N₃ (z₃ ) – F₁– F₂ – q₁ l₂

N₃(z₃) =F₁+F₂+q₁l₂=30+20+102=70 кН.

По полученным данным строим эпюру ЭN.

Построение эпюры напряжений.

Определим нормальные напряжения. Поскольку A₀ неизвестна, построим сравнительную эпюру напряжений (сохраним в знаменателе A₀).

Участок I

Участок II:

при z₂ = 0:

при z₂ = l₂:

На участке III:

Построим сравнительную эпюру напряжений.

Определение площади поперечного сечения.

Для определения площади поперечного сечения А₀, анализируя построенную сравнительную эпюру напряжений, выявим опасное сечение.

Максимальные напряжения:

Площадь А₀ найдем из условия прочности

σ_max≤[σ],

где [σ] – допускаемое напряжение находится по соотношению (1.3).

Если материал пластичный σ_оп = σ_т, при этом n = 1,5…3.

Если материал хрупкий σ_оп = σ_в , при этом n = 3…5.

Материал ступенчатого бруса сталь 30XM пластичный, так как согласно справочным данным δ >5 %.

Опасным напряжением является предел текучести σ_т = 200МПа; тогда, выбирая коэффициент запаса n = 2, получим допускаемое напряжение

По условию прочности

Тогда минимальный размер площади, обеспечивающий прочность стержня:

Вычислим истинные напряжения по участкам:

Построим эпюру истинных напряжений.

Построение эпюры перемещений.

Для построения эпюры продольных перемещений ЭΔl необходимо определить перемещения Δl любых точек оси бруса.

Так как брус имеет ступенчато-переменное сечение, то в условиях рассматриваемого примера, участков, в пределах которых проводят интегрирование, три. Рассмотрим участки в отдельности.

Участок III. Перемещение любого сечения участка может быть выражено соотношением согласно формуле:

Соотношение для нормальной силы примет вид

N₃ (z) = F₁+F₂+q₁l₂,

Δl_III (z₃ = 0) = 0; Δl_III(z₃ = l₃) – удлинение третьего участка или перемещение левой границы третьего участка бруса.

Участок II.

Найдем перемещение произвольного сечения на расстоянии z₂ от правой границы участка, выбирая за начало координат левую границу участка II.

l_II(z₂=l₂) – удлинение второго участка.

l = l_III (l₃ ) +l_II (l₂ ) = 0.59+0.86= 1.45 мм.

Участок I.

Найдем перемещение произвольного сечения на расстоянии z₁ от правой границы участка, выбирая за начало координат левую границу участка I.

так как за начало координат выбрана левая граница участка I, соотношение для нормальной силы примет вид

N₁(z) = F₁ ,

l = l_III (l₃ ) +l_II (l₂ ) +l_I (l₁) = 0.59+0.86+0.27 = 1.72 мм.

По найденным значениям необходимо построить эпюру перемещений.

Задача 2. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ СТУПЕНЧАТОГО БРУСА

ПРИ КРУЧЕНИИ

Условие задачи

Ступенчатый брус нагружен равномерно распределенным моментом интенсивностью m и сосредоточенными скручивающими моментами М₁, М₂ и М₃. Принять, что сечение, где возникает реактивный момент М₄, неподвижно.

Необходимо:

1) определить реактивный момент М₄, возникающий в неподвижном сечении бруса;

2) построить эпюру крутящих моментов;

3) выбрать опасное сечение бруса из условий прочности;

4) определить диаметр поперечных сечений бруса;

5) построить эпюру максимальных касательных напряжений;

6) построить эпюру относительных углов закручивания;

7) построить эпюру углов закручивания.

Определение реактивного момента.

Исходя из условия равновесия вала, составим уравнение

∑M_z = – M₁ + M₂ – ml₃ + M₃ –М₄ = 0.

Получаем реактивный момент

M₄ = –M₁ + M₂ – ml₃ + M₃.

При указанных выше исходных данных

M₄ = –15 + 0 – 0⋅0,4 +20 = 5 кНм.

Реактивный момент M₄ вращает вал в направлении, указанному на схеме.

Изобразим расчетную схему согласно заданным силам и соотношениям. Покажем на расчетной схеме фактическое направление действия момента M₄.

Построение эпюры крутящих моментов.

Выберем подвижную систему осей координат y, z, при этом первоначально расположим ее в неподвижном сечении.

Рассмотрим участки в отдельности, каждый раз составляя уравнения равновесия рассматриваемой части бруса.

Участок I

Мысленно проведем сечение в начале участка I и из условия равновесия левой отсеченной части вычислим крутящий момент в этом сечении.

z₁ изменяется в интервале [0 ≤ z₁ ≤ l₁]

∑M_z = M_к1–М₁;

М_к1 = М₁ = 15 кН.

Участок II

В пределах участка z₂ изменяется в интервале [0 ≤ z₂ < l₂]

∑ M_z = M_к2–М₁+М₂=0

M_к2=М₁–М₂=15–0=15 кНм.

Участок III

z₃ изменяется в интервале [0 ≤ z₃≤ l₃]

∑ M_к3–М₁+М₂+М₃=0

M_к3=М₁–М₂–М₃

M_к3=15–0–20= –5 кНм.

Определение опасного сечения.

Найдем моменты сопротивления сечений и значения напряжений по участкам.

Участок I [0 ≤ z₁≤ 1₁]

D_нар=d, D_внут.=0

Участок II [0 ≤ z₂ ≤ l₂]

D_нар=1.2d, D_внут.=0.8d

Участок III [0 ≤ z₃ ≤ l₃]

D_нар=0.8d, D_внут.=0.5d

Эпюра максимальных значений касательных напряжений, выраженных через параметр d³, показана на рисунке. Наиболее опасными по величине напряжений будут сечения на участке I [0 ≤ z₁ ≤ l₁], где .

Определение диаметра бруса.

Размер d найдем, приравнивая выражение для максимального касательного напряжения в

опасном сечении значению допускаемого напряжения по формуле:

=[] .

Для заданного материала нержавеющей стали Д16 имеем

σ_0,2 =340 МПа и σ_в= 435 МПа.

Так как выбираем запас

n_т = 2.

Тогда τ_0,3 = 0,5  σ_0,2 = 170 МПа согласно,

МПа.

Принимая максимальное значение касательного напряжения _max,max равным допускаемому, получим

=[] ,

= ,

отсюда

,

d=0.097 м.

Построение эпюры максимальных касательных напряжений.

С помощью полученного значения диаметра d найдем максимальные касательные напряжения по длине бруса.

Участок I [0 ≤ z₁≤ 1₁]

Па= 85 МПа

Участок II [0 ≤ z₂ ≤ l₂]

Участок III [0 ≤ z₃ ≤ l₃]

.

По найденным значениям построим эпюру максимальных касательных напряжений по длине вала.

Построение эпюры относительных углов закручивания.

Эпюру относительных углов закручивания θ получаем из эпюры крутящих моментов М_к.

Для материала сталь Д16, где E = 0.72⋅10⁵ МПа и µ = 0,33, определим G по формуле

МПа.

Для сечений данного бруса значения полярных моментов инерции и относительных углов закручивания при d = 0.097 м имеют вид:

Участок I [0 ≤ z₁≤ 1₁]

D_нар=d=0.097 м, D_внут.=0

М_к1=15 кНм

1/м

Участок II [0 ≤ z₂ ≤ l₂]

D_нар=1.2d=0.116 м, D_внут.=0.8d=0.078 м

1/м

Участок III [0 ≤ z₃ ≤ l₃]

D_нар=0.8d=0.078 м, D_внут.=0.5d=0.0485 м

1/м

По найденным значениям построим эпюру относительных углов закручивания по длине вала.