Орехов Логика билеты

51. Пренексные нормальные формы. Теорема о существовании эквивалентной пнф: алгоритм получения эквивалентной пнф.

Пусть Q обозначает некоторый квантор или . Тогда ппф вида 1 1 … , где – бескванторная формула, называется пренексной нормальной формой.

Теорема о существовании:

Для любой ппф алгебры предикатов существует эквивалентная ей пренексная форма.

Алгоритм получения:

1)Исключаем →

2)Продвигаем ¬ до атома.

3)Переименовываем связанные переменные

4)Вынесим кванторы

52. Сколемовская стандартная форма (ссф): основная теорема, функции Сколема.

Пренексная форма вида 1 … 1 … называется сколемовской.

Основная теорема:

Пусть предложение сигнатуры имеет вид

Тогда для любой алгебраической системы =< ; > существует алгебраическая система ′ = < ; ′ > такая, что значение в совпадает со значением ′в ′.

′ - обогащение , а – обеднение ′. Функции 1 (1, … , ), … , 1 (!, … , ), вводимые вместо кванторов , называются функциями Сколема.

53. Сколемовская стандартная форма (ссф): следствие основной теоремы.

Пренексная форма вида 1 … 1 … называется сколемовской.

Следствие:

Для любого предложения сигнатуры существует некоторое предложение ′ расширенной сигнатуры ′, полученное добавлением к новых функциональных символов, и обладающее свойством: для любой алгебраической системы =< ; > существует обогащение ′ =< ; ′ > такое, что значение в совпадает со значением ′ в ′.

54. Сколемовская стандартная форма(ссф): процедура построения, алгоритм Сколема.

Алгоритм Сколема:

1)Представить исходное предложение в виде пнф

2)Найти квантор

3)Если квантор 1 самый первый, то заменить все вхождения 1 на 1

4)Если нет, то заменить все вхождения на −1( 1, … , −1)

5)Повторять до усеру.

55.Понятие логического следствия в АП. Пример.

Ппф сигнатуры называется логическим следствием множества формул Γ = { 1, … , } той же сигнатуры в алгебре предикатов, если в любой алгебраической системе =< ; > ппф получает значение t каждый раз, как каждая ппф ппф 1, … , принимает значение t в этой системе.

Пример:

Пусть Γ = { 1, … , }, 1 = ( 11( ) → 21( )) , 2 = 11( ), = 21( ).

Рассмотрим произвольную алгебраическую модель =< ; >, = { 11, 21} { }. Пусть в этой модели 1 = , 2 = , тогда 11( ) = , 21( ) = , значит = . Значит Γ .

56.Выполнимые и невыполнимые множества посылок в АП

Множество посылок Γ = { 1, … , } выполнимо в алгебре предикатов, если найдется алгебраическая система соответствующей сигнатуры такая, что в базе этой системы существует набор значений свободных переменных, на котором все формулы из Γ принимают значение t.

Множество посылок Γ невыполнимо в АП, если в любой алгебраической системе соответствующей сигнатуры для любого набора значений свободных предметных переменных найдется ппф Γ, значение которой =f.

57.Понятие резольвенты в АВ. Пример.

Пусть ≡ ( 1& … & ) – кнф, 1, … , – элементарные дизъюнкции (дизъюнкты).

Резольвентой дизъюнктов , назовем дизъюнкт

58.Теорема о свойстве резольвенты.

, или ( & &¬ )~

59.Основная теорема

Кнф ≡ ( 1& … & & … & & … & ) тождественно ложно тогда и только тогда, когда тождественно ложна кнф ′ ≡ ( & )

60.Формулировка принципа резолюции в АВ

Пусть Σ ≡ Σ0 ≡ { 1, … , } - некоторое множество дизъюнктов и пусть для = 1,2, … Σ = Σ−1

{ }, где – резольвента некоторой пары дизъюнктов из Σ−1. Тогда, если для некоторого i

~ , то кнф ≡ ( 1& … & )~ .

61. Схема применения принципа резолюции для доказательства факта логического следствия в АВ. Пример применения принципа резолюции для доказательства факта логического следствия.

Необходимо определить, имеет ли место факт логического следствия 1, … ,

1)Образуем ппф ′ ≡ ( 1& … & &¬ )

2)Для ′ строим эквивалентную ей кнф ≡ ( 1& … & )

3)Образуем Σ ≡ Σ0 ≡ { 1, … , } и применяем принцип резолюции. Если на каком-то шаге i-1 получаем «пустой дизъюнкт» - тождественно ложную резольвенту ~ , то

1, … ,

Пример:

Проверим , ( ) ( → )

1)′ ≡ ( &( )&¬( → ))

2)′ ≡ ( &( )&¬( → ))~( &( )&¬(¬ ))~( &( )& &¬ )

3)Σ0 ≡ { , ( ), , ¬ } видим что , ¬ образуют контрарную пару литер и дают ~ ,

значит , ( ) ( → )

62.Схема построения модели алгоритма

1)Выделение основных свойств (характерных черт, присущих алгоритму)

2)Определение основных элементов модели, исходя из выделенных характерных черт.

3)Принятие основных предположений об элементах модели (установление основных ограничений)

4)В рамках принятых предположений построение и анализ конкретных моделей алгоритмов

5)Установление взаимосвязи между различными моделями алгоритмов.

63.Характерные черты алгоритма

1)Алгоритм имеет дело с данными: исходные данные преобразуются в промежуточные и, далее, в выходные данные. Данные должны принадлежать достаточно широкому классу, так как алгоритм предназначается для решения задач определенного класса (а не одной конкретной задачи), но класс используемых данных ограничен

2)Предполагается наличие у алгоритма памяти

3)Алгоритм состоит из конечного числа правил, каждое из которых выполняется за конечное время.

4)Правила связаны причинно-следственной связью, каждое правило однозначно определяет приемника, вход приемника определяется входом предшественника

5)Алгоритм обязан давать результат, останавливаться через конечное число шагов.

1)Каждый объект является словом в некотором конечном алфавите

2)Память состоит из одинаковых ячеек, каждая из которых может содержать один символ алфавита. Память может быть бесконечной.

3)Набор элементарных правил конечен.

4)Механизм, реализующий правила в соответствии с их организацией, реализует каждое правило за счет конечного ресурса, реализация одного правила называется шагом алгоритма

5)Организация правил должна быть такой, чтобы для конечного набора данных результат набора данных получался с помощью упомянутого механизма за конечное число шагов.

66.Устройство машины Тьюринга

Элементы данных, с которыми работает машина Тьюринга, представляют собой слова в некотором конечном алфавите = {0, 1, … , }, который называется внешним алфавитом.

Память машины Тьюринга представляет собой бесконечную в обе стороны ленту, в каждую из которых может быть записан только один символ внешнего алфавита. В процессе работы символы в ячейках могут заменяться на другие символы.

Механизм, обеспечивающий работу машины Тьюринга, состоит из читающей\пишущей головки, которая:

1)В каждый данный момент времени может обрабатывать только одну ячейку ленты

2)За один такт работы Машина Тьюринга может переместиться на одну ячейку налево\направо или остаться на прежнем месте.

= { 0, 1, … , } – алфавит внутренних состояний. В каждый момент времени Машина находится в одном из состояний. 0 – стоп состояние.

Команды имеют вид:

→ , где T – один из символов L,R,S

Если Машина встречает в ячейке , то:

1)В текущей ячейке будет заменен на

2)Головка передвинется в направлении T

3)Состояние переведено в

67.Комбинации машин Тьюринга: композиция

Пусть имеются две Машины Тьюринга: 1, 2. Лента обрабатывается 1, которая выдает заключительное слово и останавливается. Это слово является начальным состоянием 2, которая обрабатывает ленту до своего стоп-состояния. Заключительное слово 2 можно

интерпретировать как заключительное слово 3, а начальное слово 1 как начальное слово

3.

Программу 3 можно сконструировать из 1 и 2 следующим образом:

68.Комбинации машин Тьюринга: разветвление

Пусть имеются три машины Тьюринга: 1, 2, 3.

Заданное слово обрабатывается 1, которая выдает некоторое заключительное слово и останавливается. Также имеется некоторое условие, если оно выполняется, то заключительное слово 1 передается в качестве начального слова в 2, иначе оно передается в 3. Любая из этих машин обрабатывает ленту до попадания в своё стоп-состояние.

Программу можно построить следующим образом:

Пусть 1 имеет два стоп-состояния: 0′ 0′′, каждое из которых отождествляется с начальными состояниями 2 и 3 соответственно. Стоп-состояния 2 и 3 со стоп-состоянием . Начальное состояние 1 – начальное состояние .

Полученная таким образом машина называется разветвлением 1 на 2 и 3.

69.Комбинации машин Тьюринга: разветвление с циклом.

Пусть у нас есть разветвление 1 на 2 и 3. Добавим условие: по окончанию работы 2 её результат передается в 1.

В данном случае будем называть разветвлением 1 на 2 и 3 с циклом.

70.Вычислимые по Тьюрингу функции.

Будем говорить, что Машина Тьюринга правильно вычисляет частичную числовую функцию , если для любого набора 1, … , имеет место следующее:

1)Если определена на (1, … , ), то Машина, стандартно воспринимая данный набор в состоянии 1, остановится через конечное число шагов и будет стандартно воспринимать

(1, … , ) в состоянии 0

2)Если не определена на (1, … , ), то Машина, стандартно воспринимая набор (1, … , ) в состоянии 1 будет работать бесконечно.

3)При своей работе Машина никогда не заходит в левую зону.

71. Разрешимые (рекурсивные) множества. Пример. Рекурсивно перечислимые множества. Пример.

Пусть = {0,1, … }. Пусть . Будем говорить что M – разрешимо(рекурсивно), если существуют две такие Машины Тьюринга P и Q, что:

( , ) { ( , )

Если таких машин не существует, то М – неразрешимо.

Пример: Множество = {0,1,2,3,4,5}.

( , ) означает что МТ остановится на х через какое-то чисто шагов.

Множество рекурсивно перечислимо, если существует машина Тьюринга Р такая, что

( , ), но не существует Машины такой, что ( , ).

Пример: Н – множество таких номеров х Машин , которые останавливаются на своем собственном номере х.

72. Алгоритмически неразрешимые проблемы. Пример. Тезис Тьюринга.

Алгоритмически неразрешимая проблема – проблема, для которой не существует алгоритма решения.

Пример:

Существует ли Машина Тьюринга, которая для произвольной машины Тьюринга определяла бы самоприменима данная машина или нет?

Тезис Тьюринга:

Всякий алгоритм может быть реализован подходящей машиной Тьюринга.