Орехов Логика билеты

23. Установление факта логического следствия из данного множества посылок по таблице истинности.

1)Составляем таблицу истинности

2)Ищем строки, в которых все посылки =t

3)Если заключение в каждой из этих строк =t, то это логическое следствие. Если завтра мало пар и не к первой, то я пойду в универ.

A – мало пар (если мало, то t)

B – не к первой паре (если не к первой, то t)

C – я пойду в универ (если пойду, то t) Формулировка (( & ) → )

A,B,(( & ) → ) множество посылок, С – заключение

Значит это логическое следствие.

24. Установление факта логического следствия из данного множества посылок путем определения совместности соответствующей системы логических уравнений.

Пусть Γ = { 1, … , } – множество посылок, – заключение.

1)Проверяем Γ на выполнимость, если Γ – невыполнимо, то Γ , если нет, то переходим к пункту 2

2)Составляем систему вида:

=

{ 1 =

…

=

3) Если система несовместна, то Γ , иначе – нет.

25. Основные теоремы о логическом следствии (сведение установления факта логического следствия из данного множества посылок к установлению факта логического следствия из другого множества посылок)

Пусть Γ, Γ′ – какое-то множество посылок, , , – ппф.

1)Γ,

2)Если Γ , то Γ,

3)Если Γ, , , то Γ, ,

4)Если Γ, и Γ , то Γ

5)Если Γ 1, … , Γ , 1, … , , то Γ

26. Основные теоремы о логическом следствии (сведение установления факта логического следствия из данного множества посылок к проверке тождественной истинности или тождественной ложности формул АВ)

1)если ( → )

2)1, . . , если:

1.(1& … & )

2.((1& … & ) → )

3)1, … , если 1, … , −1 ( → )

4)1, … , если (1& … & &¬ ) тождественно ложна.

27. Схемы аксиом ИВ. Получение аксиом из схем аксиом ИВ. Пример.

Вкачестве схем аксиом ИВ примем следующие выражения:

1)( → ( → ))

2)(( → ) → (( → ( → )) → ( → )))

3)(( & ) → )

4)(( & ) → )

5)(( → ) → (( → ) → ( → ( & ))))

6)( → ( ))

7)( → ( ))

8)(( → ) → (( → ) → (( ) → )))

9)(( → ¬ ) → ( → ¬ ))

10)(¬¬ → )

Всхемах аксиом , , - любые ппф. Аксиомы исчисления высказываний получаются из приведенных схем при подстановке в них ппф.

Пример:

(( ) → (( & ) → ( ))) получается при подстановке в А1 при ≡ ( ), ≡ ( & )

28.Правило вывода modus ponens. Пример применения

: , ( → )

, – любые ппф. называется непосредственным следствием формул и ( → )

Пример:

Из А10 (¬¬ → ) при ≡ получим (¬¬ → )

Из А1 ( → ( → )) при ≡ (¬¬ → ); ≡ получим ((¬¬ → ) → ( → (¬¬ → )))

Применим MP с ≡ (¬¬ → ); ≡ ( → (¬¬ → ))

(¬¬ → ), ((¬¬ → ) → ( → (¬¬ → )))

:

( → (¬¬ → ))

Таким образом, мы вывели формулу (доказали теорему) ( → (¬¬ → )).

29.Понятие доказательства в ИВ. Понятие исчисления.

Формула доказуема (выводима) в ИВ если существует конечная последовательность формул1, … , , обладающая следующими свойствами:

1)1 - аксиома

2)≡

3)выводится при помощи modus ponens из ранее выведенных формул.

Исчислением , называется множество всех формул, доказуемых из аксиом множества = {1, … , } при помощи правил вывода = { 1, … , }

30.Понятие доказательства из гипотез в ИВ

Формула доказуема (выводима) из множества гипотез Γ если существует конечная последовательность формул 1, … , обладающая следующими свойствами:

1)1 – аксиома или 1 Γ

2)≡

3)выводится с помощью правила вывода modus ponens из ранее выведенных формул

31.Основные теоремы о доказуемости из гипотез в ИВ.

1)Γ,

2)Если Γ , то Γ,

3)Если Γ, , , то Γ, ,

4)Если Γ, и Γ , то Γ

5)Если Γ 1, … , Γ и 1, … , , то Γ

6)Если 1, … , , то ∫ 1 , … , ∫ ∫

32.Теорема о дедукции в ИВ

Если Γ, , то Γ ( → )

33. Понятие производного допустимого правила вывода в ИВ. Пример.

Все допустимые правила вывода, отличные от MP, будем называть производными допустимыми правилами вывода.

Пример:

Γ, , ( & ) – введение конъюнкции.

34. Технология доказательства с использованием произвольных допустимых правил вывода: сведение к

подзадачам. Пример.

( & ) ( )

( ) ( ) ( & ) − удаление конъюнкции

& [ ( )

− введение

35. Теорема о совпадении множества тождественно истинных формул АВ и доказуемых формул ИВ: план доказательства

Для доказуемости формулы в ИВ необходимо и достаточно, чтобы она была тождественно истинной формулой АВ.

Пусть у нас есть ( ) ( & ). Для проверки факта доказуемости рассмотрим

( ) → ( & ). Формула не является тождественно истинной, значит не доказуема.

36.Связь между наличием факта логического следствия в АВ

итождественной истинностью вложенной импликации посылок и логического следствия этих посылок

1, … , тогда и только тогда, когда (1 → (… ( → )))

37.Связь между наличием факта логического следствия в АВ

идоказуемостью из гипотез в ИВ.

1, … , тогда и только тогда, когда 1, … ,

38.Непротиворечивость ИВ

Исчисление , называется противоречивым, если существует такая формула , что и ¬. Если такой формулы не существует, то исчисление назовем непротиворечивым.

39.Понятие алгебраической системы

Алгебраической системой назовем множество M с заданными на нем некоторыми функциями

Если предикатов нет, то система называется алгеброй.

Если функций нет, то система называется моделью.4

40.Алфавит и язык АП. Сигнатура. Понятие терма данной

сигнатуры. Пример. Ппф АП. Пример. Предложение. Пример.

Алфавит = 1 2 3 4 5 6

1 – множество предметных переменных.

2 – множество предикатных символов

3 – множество функциональных символов

4 – множество предметных констант

5 – множество логических символов

6 – вспомогательные символы (запятая, скобочки)

= 2, 3, 4 – сигнатура

Языком алгебры предикатов сигнатуры назовем множество всех слов в алфавите .

Понятие терма определим как:

1)Предметная переменная есть терм

2)Предметная константа есть терм

3)(1, … , ) – терм

4)Никаких других термов нет

Пример:

1(2(1, 1)) – терм

1(1, 2) – не терм

Понятие ппф сигнатуры определим следующим образом:

1)Атомная ппф сигнатуры есть ппф сигнатуры

2)– пп, , – ппф сигнатуры

a.¬ – ппф

b.( & ) – ппф

c.( ) – ппф

d.( → ) – ппф

e.– ппф

f.– ппф

3)Никаких других ппф нет.

Пример:

(11(1) → 21(2)) – ппф

Формула, не содержащая свободных переменных, называется предложением.

Пример:

! 2(11(1) → 21(2)) - предложение

41.Понятие алгебраической системы данной сигнатуры

Алгебраической системой =< ; > сигнатуры назовем алгебраическую систему , в которой:

1)Каждому n-местному предикатному символу из σ сопоставлен n-местный предикат из , заданный на М.

2)Каждому n-местному функциональному символу из сопоставлена n-местная функция из, заданная на М.

3)Каждой предметной константе из сопоставлен элемент

42. Свободные и связанные переменные. Термы, свободные для данной переменной в данной формуле.

Переменная называется свободной в ппф, если имеются свободные вхождения этой переменной в этой ппф.

Переменная называется связанной в ппф, если имеются связанные вхождения этой переменной в этой ппф.

Все свободные и связанные переменные обозначаются разными буквами.

Терм свободен для переменной в формуле если никакое свободное вхождение в не находится в области действия никакого квантора или , где – переменная, входящая в .

43. Значение терма данной сигнатуры в алгебраической системе той же сигнатуры. Пример.

Определим значение терма системы , все предметные переменные которого содержатся в наборе {1, … , } в алгебраической системе =< ; > при значениях переменных { 1, … , } соответственно следующим образом:

1)Если есть константа , то значение есть значение

2)Если есть переменная , то значение есть

3)Если = (1, … , ), а 1, … , = 1, … , соответственно, то = (1, … , ) =

согласно функции

Пример:

Пусть 1 = , тогда 1 = 1 =

44. Значение ппф АП данной сигнатуры в алгебраической системе той же сигнатуры

Значение ( 1, … , ) в алгебраической системе =< ; > при ( 1, … , ) определим следующим образом:

1)Если ≡ ( 1, … , ), то ( 1, … , ) = только если( 1( 1, … , ), … , ( 1, … , )) = в , иначе ( 1, … , ) =

2)Если ≡ ( & ), то ( 1, … , ) = только если ( 1, … , ) = и ( 1, … , ) = , иначе ( 1, … , ) =

3)Если ≡ ( ), то ( 1, … . , ) = только если ( 1, … , ) = и ( 1, … , ) = иначе ( 1, … , ) =

4)Если ≡ ( → ), то ( 1, … , ) = только если ( 1, … , ) = и ( 1, … , ) = иначе ( 1, … , ) =

5)Если ≡ ¬ , то ( 1, … , ) = только если ( 1, … , ) = и наоборот.

6)Если ≡ ( ; 1, … , ), то ( 1, … , ) = только если ( ; 1, … , ) = для всех

, иначе ( 1, … , ) =

7)Если ≡ , то ( 1, … , ) = только если ( ; 1, … , ) = хотя бы для одного

, иначе ( 1, … , ) =

45.Кванторы и как обобщения логических связок & и .

Если М – конечное основное множество алгебраической системы =< ; > сигнатуры , ( )

– ппф данной сигнатуры, то предложения ( ) и ( ( 1), … , ( )), где = | |, имеют одно и то же значение.

Если М – конечное основное множество алгебраической системы =< ; > сигнатуры , ( )

– ппф данной сигнатуры, то предложения ( ) и ( ( 1) … ( )) имеют одно и то же значение.

46.Выполнимые формулы АП. Пример.

Ппф сигнатуры назовем выполнимой, если существует такая алгебраическая система =<; >, что истинна в при некоторых значениях свободных предметных переменных.

Пример:

11( ) выполнима.

47. Тождественно истинные формулы АП. Пример доказательства тождественной истинности.

Ппф сигнатуры назовем тождественно истинной, если истинна в любой алгебраической системе сигнатуры при любых значениях свободных предметных переменных.

Пример:

( ) ≡ (1( ) → 1( )) – тождественно истинная.

Доказательство производится методом от противного, тоесть

(1( ) → 1( )) = такое возможно лишь при { 1( ) = , что невозможно.

1( ) =

48.Эквивалентные формулы АП. Пример.

Две ппф алгебры предикатов 1 и 2 сигнатуры называются эквивалентными, если они принимают одинаковые значения (t или f) в любых алгебраических системах данной сигнатуры. Факт эквивалентности ппф 1 и 2 записывается в виде 1~2.

Если они эквивалентны только в какой-то алгебраической системе =< ; >, то факт эквивалентности записывается как 1~2(а внизу такая хуевинка )

Пример:

( & )~( ) в любой алгебраической системе

1( )~1( ) эквивалентны лишь в системе с одноместной базой (вместо x ТОЛЬКО t или ТОЛЬКО f)

49. Теорема о замене подформулы на эквивалентную подформулу в ппф алгебры предикатов.

Пусть – подформула , ~1, тогда

~ ∫

!

50. Теорема о подстановке ппф вместо атомной формулы в эквивалентные ппф алгебры предикатов

Пусть , , - ппф сигнатуры , – атомная формула, тогда если ~

∫~ ∫