Орехов Логика билеты
.pdfОглавление
1.Высказывания. Примеры высказываний. Пропозициональные переменные. Определения
|
основных логических операций. ........................................................................................................ |
4 |
2. |
Алфавит, язык, правильно построенные формулы алгебры высказываний. Примеры ппф. ....... |
4 |
3. |
Теорема о замене подформулы ппф АВ. Пример............................................................................. |
4 |
4. |
Теорема о подстановке формулы вместо пропозициональной переменной в ппф. Пример. .... |
4 |
5.Значение ппф АВ. Таблица истинности. Пример построения таблицы истинности.
Выполнимые, опровержимые, тождественно истинные, тождественно ложные формулы АВ. |
|
Примеры............................................................................................................................................... |
5 |
6.Теорема о подстановке ппф вместо пропозициональной переменной в тождественно
|
истинной формуле............................................................................................................................... |
6 |
7. |
Теорема о правиле modus ponens ..................................................................................................... |
6 |
8. |
Эквивалентные формулы алгебры высказываний. .......................................................................... |
6 |
9.Теорема о подстановке ппф вместо пропозициональной переменной в эквивалентные
|
формулы АВ.......................................................................................................................................... |
6 |
10. |
Теорема о замене подформулы на эквивалентную формулу в ппф АВ. ........................................ |
6 |
11. |
Понятие формулы с тесными отрицаниями. Пример. ..................................................................... |
6 |
12. |
Теорема об эквивалентной формуле с тесными отрицаниями ...................................................... |
6 |
13. |
Понятие днф и кнф. Примеры. ........................................................................................................... |
7 |
14. |
Теорема о существовании эквивалентной днф ................................................................................ |
7 |
15. |
Теорема о существовании эквивалентной кнф................................................................................. |
7 |
16. |
Теоремы о виде тождественно ложной днф, тождественно истинной кнф .................................. |
7 |
17. |
Понятия сднф, скнф. Построение сднф, скнф по таблице истинности данной формулы. ............ |
8 |
18. |
Построение сднф по данной днф....................................................................................................... |
8 |
19. |
Построение скнф по данной кнф........................................................................................................ |
8 |
20. |
Условия существования скнф, сднф ................................................................................................... |
8 |
21. |
Понятие логического следствия в АВ. Содержательный пример. .................................................. |
9 |
22. |
Непротиворечивые (выполнимые) и противоречивые (невыполнимые) множества посылок. |
|
|
Примеры............................................................................................................................................. |
10 |
23. |
Установление факта логического следствия из данного множества посылок по таблице |
|
|
истинности.......................................................................................................................................... |
11 |
24. |
Установление факта логического следствия из данного множества посылок путем |
|
|
определения совместности соответствующей системы логических уравнений. ........................ |
11 |
25.Основные теоремы о логическом следствии (сведение установления факта логического следствия из данного множества посылок к установлению факта логического следствия из
другого множества посылок)............................................................................................................ |
12 |
26.Основные теоремы о логическом следствии (сведение установления факта логического следствия из данного множества посылок к проверке тождественной истинности или
тождественной ложности формул АВ)............................................................................................. |
12 |
27. Схемы аксиом ИВ. Получение аксиом из схем аксиом ИВ. Пример. ............................................ |
13 |
28. |
Правило вывода modus ponens. Пример применения .................................................................. |
13 |
29. |
Понятие доказательства в ИВ. Понятие исчисления. ..................................................................... |
14 |
30. |
Понятие доказательства из гипотез в ИВ......................................................................................... |
14 |
31. |
Основные теоремы о доказуемости из гипотез в ИВ. .................................................................... |
14 |
32. |
Теорема о дедукции в ИВ ................................................................................................................. |
14 |
33. |
Понятие производного допустимого правила вывода в ИВ. Пример........................................... |
14 |
34. |
Технология доказательства с использованием произвольных допустимых правил вывода: |
|
|
сведение к подзадачам. Пример. .................................................................................................... |
15 |
35. |
Теорема о совпадении множества тождественно истинных формул АВ и доказуемых формул |
|
|
ИВ: план доказательства ................................................................................................................... |
15 |
36. |
Связь между наличием факта логического следствия в АВ и тождественной истинностью |
|
|
вложенной импликации посылок и логического следствия этих посылок .................................. |
15 |
37. |
Связь между наличием факта логического следствия в АВ и доказуемостью из гипотез в ИВ.. |
15 |
38. |
Непротиворечивость ИВ.................................................................................................................... |
15 |
39. |
Понятие алгебраической системы ................................................................................................... |
16 |
40. |
Алфавит и язык АП. Сигнатура. Понятие терма данной сигнатуры. Пример. Ппф АП. Пример. |
|
|
Предложение. Пример...................................................................................................................... |
17 |
41. |
Понятие алгебраической системы данной сигнатуры ................................................................... |
18 |
42. |
Свободные и связанные переменные. Термы, свободные для данной переменной в данной |
|
|
формуле.............................................................................................................................................. |
18 |
43. |
Значение терма данной сигнатуры в алгебраической системе той же сигнатуры. Пример. ..... |
18 |
44. |
Значение ппф АП данной сигнатуры в алгебраической системе той же сигнатуры.................... |
19 |
45. |
Кванторы и как обобщения логических связок & и .............................................................. |
19 |
46. |
Выполнимые формулы АП. Пример. ............................................................................................... |
19 |
47. |
Тождественно истинные формулы АП. Пример доказательства тождественной истинности. .. |
20 |
48. |
Эквивалентные формулы АП. Пример............................................................................................. |
20 |
49. |
Теорема о замене подформулы на эквивалентную подформулу в ппф алгебры предикатов. . |
20 |
50. |
Теорема о подстановке ппф вместо атомной формулы в эквивалентные ппф алгебры |
|
|
предикатов ......................................................................................................................................... |
20 |
51. |
Пренексные нормальные формы. Теорема о существовании эквивалентной пнф: алгоритм |
|
|
получения эквивалентной пнф......................................................................................................... |
21 |
52. |
Сколемовская стандартная форма (ссф): основная теорема, функции Сколема. ....................... |
21 |
53. |
Сколемовская стандартная форма (ссф): следствие основной теоремы. .................................... |
21 |
54. |
Сколемовская стандартная форма(ссф): процедура построения, алгоритм Сколема. ............... |
22 |
55. |
Понятие логического следствия в АП. Пример. .............................................................................. |
22 |
56. |
Выполнимые и невыполнимые множества посылок в АП ............................................................ |
22 |
57. |
Понятие резольвенты в АВ. Пример. ............................................................................................... |
23 |
58. |
Теорема о свойстве резольвенты. ................................................................................................... |
23 |
59. |
Основная теорема ............................................................................................................................. |
23 |
60. Формулировка принципа резолюции в АВ ..................................................................................... |
23 |
61.Схема применения принципа резолюции для доказательства факта логического следствия в АВ. Пример применения принципа резолюции для доказательства факта логического
|
следствия............................................................................................................................................ |
23 |
62. |
Схема построения модели алгоритма ............................................................................................. |
24 |
63. |
Характерные черты алгоритма ......................................................................................................... |
24 |
64. |
Элементы модели алгоритма ........................................................................................................... |
24 |
65. |
Основные предположения об элементах модели алгоритма....................................................... |
24 |
66. |
Устройство машины Тьюринга ......................................................................................................... |
25 |
67. |
Комбинации машин Тьюринга: композиция .................................................................................. |
25 |
68. |
Комбинации машин Тьюринга: разветвление ................................................................................ |
26 |
69. |
Комбинации машин Тьюринга: разветвление с циклом. .............................................................. |
26 |
70. |
Вычислимые по Тьюрингу функции. ................................................................................................ |
27 |
71. |
Разрешимые (рекурсивные) множества. Пример. Рекурсивно перечислимые множества. |
|
|
Пример. .............................................................................................................................................. |
27 |
72. |
Алгоритмически неразрешимые проблемы. Пример. Тезис Тьюринга. ...................................... |
27 |
1. Высказывания. Примеры высказываний. Пропозициональные переменные. Определения основных логических операций.
Высказывание – утверждение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. Например, «46 – четное число».
Высказывания в будущем будем обозначать латинскими буквами, которые будем называть
пропозициональными переменными.
В качестве средств связывания используют логические операции, называемые логическими операциями: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация.
2. Алфавит, язык, правильно построенные формулы алгебры высказываний. Примеры ппф.
Алфавит – любое непустое счетное множество, элементы которого будем называть символами (буквами).
Слово (цепочка) – произвольная последовательность символов данного алфавита.
Если ≡ , , , то , , – подслова .
A,,B,C – пропозициаональные переменные
¬, &, , → - логические связки
Запятая – вспомогательный символ.
Язык алгебры высказываний – множество всех слов алфавита.
Понятие правильно построенной формулы
1)Пп есть ппф
2)Если , – ппф, то ¬ , ¬ , ( & ), ( ), ( → ) – ппф
3)Других ппф нет.
( → ( & )) – ппф
(¬ ) – не ппф
3. Теорема о замене подформулы ппф АВ. Пример
Пусть . , - ппф. подформула .
Тогда результат замены ∫ тоже ппф.
4. Теорема о подстановке формулы вместо пропозициональной переменной в ппф. Пример.
Пусть . – ппф, – пп.
Тогда результат замены ∫С тоже ппф.
5.Значение ппф АВ. Таблица истинности. Пример построения таблицы истинности. Выполнимые, опровержимые, тождественно истинные, тождественно ложные формулы АВ.
Примеры.
Значение ппф определим следующим образом:
1)Если ппф – пп, то её значение (t или f) задается непосредственно
2)Если ппф не является пп, то
1)Если ппф имеет вид ¬, то = тогда и только тогда, когда = .
2)Если ппф имеет вид ( & ), то = тогда и только тогда, когда = , = .
3)Если ппф имеет вид ( ), то = тогда и только тогда, когда = , = .
4)Если ппф имеет вид ( → ), то = тогда и только тогда, когда = , =
Ппф называется выполнимой, если существует такой набор значений пропозициональных переменных 1, … , на котором (1, … , ) =
Ппф называется опровержимой, если существует такой набор значений пропозициональных переменых 1, … , на котором (1, … , ) = .
Ппф называется тождественно истинной, если (1, … , ) = для любого набора значений1, … , . Тождественно истинную формулу будем обозначать . (I большая)
Ппф называется тождественно ложной, если (1, … , ) = для любого набора значений1, … , . Её мы будем обозначать F.
Примеры:
( ) – выполнимая, опровержимая.
( ¬ ) – тождественно истинная
( &¬ ) – тождественно ложная
6. Теорема о подстановке ппф вместо пропозициональной переменной в тождественно истинной формуле.
Пусть , – ппф, – тождественно истинна, P – пропозициональная переменная.
Тогда ∫ – тождественно истинная формула.
7. Теорема о правиле modus ponens
Если формулы и ( → ) тождественно истинны, то формула также тождественно истинна.
8. Эквивалентные формулы алгебры высказываний.
Пусть и – ппф, а 1, … , – пп, такие, что
Каждая из которых входит, по крайней мере, в одну из формул или
В формулы и входят пропозициональные переменные только из данного набора.
Формулы и назовем эквивалентными, если при любых наборах значений пропозициональных
переменных 1, … , значения и совпадают. Факт эквивалентности будем записывать как
~.
Все тождественно истинные формулы эквивалентны, все тождественно ложные формулы эквивалентны.
9. Теорема о подстановке ппф вместо пропозициональной
переменной в эквивалентные формулы АВ.
Пусть , , - ппф, P – пп.
Тогда, если ~, то ∫ ~ ∫
10. Теорема о замене подформулы на эквивалентную формулу в ппф АВ.
Пусть – подформула ппф , ~1. 1 – результат замены на 1 в ппф . Тогда ~1.
11.Понятие формулы с тесными отрицаниями. Пример.
Ппф АВ называется формулой с тесными отрицаниями, если она не содержит связки →, а если имеются связки ¬, то они относятся только к пп.
( (¬ & )) – формула с тесными отрицаниями
¬( ( → )) – не является формулой с тесными отрицаниями
12. Теорема об эквивалентной формуле с тесными отрицаниями
Для любой ппф алгебры высказываний существует эквивалентная ей формула с тесными отрицаниями.
13.Понятие днф и кнф. Примеры.
Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция формул, каждая из которых является либо пропозициональной переменной, либо пропозициональной переменной с тесным отрицанием.
Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция формул, каждая из которых является либо пропозициональной переменной, либо пропозициональной переменной с тесным отрицанием.
Дизъюнктивной нормальной формой (днф) называется произвольная дизъюнкция элементарных конъюнкций.
Конъюнктивной нормальной формой (кнф) называется произвольная конъюнкция элементарных дизъюнкций.
Примеры:
(( & ) ( & & )) - днф
(( )&( )) – кнф
14.Теорема о существовании эквивалентной днф
Для любой ппф АВ существует эквивалентная ей днф.
15.Теорема о существовании эквивалентной кнф
Для любой ппф алгебры высказываний существует эквивалентная ей кнф.
16. Теоремы о виде тождественно ложной днф, тождественно истинной кнф
Если – тождественно ложная днф, то любая её элементарная конъюнкция содержит некоторую пропозициональную переменную вместе с тесным отрицанием этой же пропозициональной переменной.
Если – тождественно истинная кнф, то любая элементарная дизъюнкция содержит некоторую пропозициональную переменную вместе с тесным отрицанием этой пропозициональной переменной.
17. Понятия сднф, скнф. Построение сднф, скнф по таблице истинности данной формулы.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (сднф) – днф, в которой каждая её элементарная конъюнкция зависит от всех входящих в неё пп и каждая пп входит в каждую элементарную конъюнкция ровно один раз.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (скнф) – кнф, в которой каждая её элементарная дизъюнкция зависит от всех входящих в неё пп и каждая пп входит в каждую элементарную дизъюнкцию ровно один раз.
Построение сднф по таблице истинности данной формулы:
1)Находим строки, где итоговая формула принимает значение t.
2)Для каждой такой строки создаем элементарную конъюнкцию по правилу: если пп=t, то просто добавляем, если пп=f, то добавляем со знаком ¬.
3)Из полученных элементарных конъюнкций составляем днф.
4)Получаем что-то типа (( &¬ ) (¬ & )).
Построение скнф по таблице истинности данной формулы:
1)Находим строки, где итоговая формула принимает значение f.
2)Для каждой такой строки создаем элементарную дизъюнкцию по правилу: если пп=f, то просто добавляем, если пп=t, то добавляем со знаком ¬.
3)Из полученных элементарных дизъюнкций составляем кнф.
4)Получаем что-то типа ((¬ )&( ))
18. Построение сднф по данной днф.
1) Убеждаемся что данная нам днф не является тождественно ложной 2) В каждую элементарную конъюнкцию дописываем недостающие пп как (пп ¬пп) 3) Совершаем необходимые преобразования, пока не придем к сднф.
19. Построение скнф по данной кнф
1) Убеждаемся что данная нам кнф не является тождественно истинной 2) В каждую элементарную дизъюнкцию дописываем недостающие пп как (пп&¬пп) 3) Совершаем необходимые преобразования, пока не придем к скнф.
20. Условия существования скнф, сднф
Для тождественно ложной ппф не существует эквивалентной сднф.
Для тождественно истинной ппф не существует эквивалентной скнф.
21. Понятие логического следствия в АВ. Содержательный пример.
Высказывание называется логическим следствием высказываний 1, … , в АВ, если ппф принимает значение t каждый раз, когда все формулы 1, … , принимают значение t.
Факт логического следствия будем записывать как 1, … ,
Замечание 1:
означает что тождественно истинна.
Замечание 2:
не является логическим следствием 1, … , если = , а 1, … , = .
Замечание 3:
Если 1, … , – невыполнимы, то 1, . . , при любом .
Множество посылок называется выполнимым, если существует такой набор пп, что они все одновременно принимают значение t.
Содержательный пример:
1)Если завтра мало пар и не к первой, то я пойду в универ. A – мало пар (если мало, то t)
B – не к первой паре (если не к первой, то t)
C – я пойду в универ (если пойду, то t) Формулировка ((&) → )
A,B,((&) → ) множество посылок, С – заключение
A |
B |
C |
(( & ) → ) |
F |
F |
F |
T |
F |
F |
T |
T |
F |
T |
F |
T |
F |
T |
T |
T |
T |
F |
F |
T |
T |
F |
T |
T |
T |
T |
F |
F |
T |
T |
t |
T |
Значит это логическое следствие.
2)Если завтра мало пар, не к первой, а я – девушка, то я пойду в универ.
«Я девушка» - тождественно ложное высказывание, значит множество посылок невыполнимо, значит это логическое следствие по замечанию 3.
22. Непротиворечивые (выполнимые) и противоречивые (невыполнимые) множества посылок. Примеры.
Множество посылок называется выполнимым, если существует такой набор пп, что они все одновременно принимают значение t.
Пример:
Если завтра мало пар и не к первой, то я пойду в универ.
A – мало пар (если мало, то t)
B – не к первой паре (если не к первой, то t)
C – я пойду в универ (если пойду, то t) Формулировка (( & ) → )
A |
B |
C |
(( & ) → ) |
F |
F |
F |
T |
F |
F |
T |
T |
F |
T |
F |
T |
F |
T |
T |
T |
T |
F |
F |
T |
T |
F |
T |
T |
T |
T |
F |
F |
T |
T |
t |
T |
A,B,(( & ) → ) множество посылок является выполнимым.
Множество посылок называется невыполнимым, если такого набора не существует.
Пример:
Если завтра мало пар, не к первой, а я – девушка, то я пойду в универ.
«Я девушка» - тождественно ложное высказывание, значит множество посылок невыполнимо.