Контрольные врпросы

1. Как определяется функция?

2. Что такое график функции?

3. Какие способы задания функции вы знаете?

4. Какая функция называется четной?

5. Что такое период функции?

6. Что такое промежутки знакопостоянства?

7. Как определяется числовая последовательность?

8. Какими способами можно задать последовательность?

9. Какие последовательности называются монотонными?

10. Что такое ограниченная последовательность?

Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. Содержание программы

4.1. Понятие предела последовательности и его свойства.

4.2. Неопределенности. Вычисление пределов последовательностей. Формула числа е.

4.3. предел функции в точке и на бесконечности(по Гейне), его свойства.

4.4. Вычисление пределов.

4.5. Понятие бесконечно малой и бесконечно большой функции, их свойства.

4.6. Неопределенности. Первый и второй замечательные пределы.

4.7. Непрерывность функции в точке.

Содержание темы

Число а называют пределом числовой последовательности {x_n}, если .

Обозначается .

Число А называется пределом функции f(x) в точке х₀, если такое, что . Обозначается .

Свойства пределов:

Если существуют конечные пределы и , то

1) ,

2) ,

3) , если ,

4) ,

5) .

Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда подстановка предельного значения аргумента в выражение для f(x) приводит к одной из неопределенностей ∞⁰, ∞ - ∞, 0 ^. ∞, ∞/∞, 0/0, 0⁰, 1^∞.

Чтобы раскрыть неопределенность вида 0/0, необходимо провести преобразования функции и сократить числитель и знаменатель дроби на выражение (х – х₀).

Чтобы раскрыть неопределенность вида ∞/∞, необходимо числитель и знаменатель дроби сократить на аргумент в большей степени.

Чтобы раскрыть неопределенности вида ∞⁰, 0 ^. ∞ и др., необходимо первоначально привести их к виду 0/0 или ∞/∞.

Первый замечательный предел

И второй замечательный предел .

Пример 4.1. Вычислить пределы:

а) , б) ,

в) , г) д) .

Решение

а)

б)

в)

г)

д) ₌

Функция непрерывна в точке , если предельное значение этой функции в точке существует и равно частному значению , или:

1. функция определена в точке и некоторой ее окрестности;

2) существует ;

3) .

Точка , в которой функция не обладает свойством непрерывности, называется точкой разрыва функции .

Точка называется точкой устранимого разрыва, если существует, но функция не определена в точке или нарушено условие .

Точка называется точкой разрыва I рода, если не существует, но при этом существуют конечные односторонние пределы и , неравные друг другу.

Точка называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов , не существует или равен бесконечности.

Пример 4.2. Исследовать функцию на непрерывность, определить характер разрыва.

Функция не определена в точках , уже нарушено первое условие непрерывности, следовательно, в этих точках функция испытывает разрыв.

Для выяснения характера разрыва нужно вычислить односторонние пределы в точках .

.

.

Так как левый предел в точке равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.

;

.

Так как правый предел в точке равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.

Пример 4.3. .

Функция неопределена в нуле, следовательно , – точка разрыва.

Так как и , то это устранимый разрыв, функцию можно в нуле доопределить “по непрерывности”, положив равной единице.