Тема 3. Функция. Последовательность

Содержание программы

3.1. Понятие функции, ее свойства, график. Сложная функция. Обратная функция.

3.2. Элементарные функции. Графики основных элементарных функций. Преобразования графиков.

3.3. Графический метод решения уравнений и систем двух уравнений с двумя неизвестными.

3.4. числовая последовательность. Виды последовательностей.

Содержание темы

Пусть X и Y некоторые числовые множества

Если каждому по некоторому правилу f ставится в соответствие единственный элемент то говорят, что задана функция. Обозначается где х – аргумент или независимая переменная функции; у – значение функции или зависимая переменная.

Множество Х значений независимой переменной называется областью определения функции и обозначается или

Множество всех значений зависимой переменной Y называется множеством значений функции и обозначается или

Частное значение функции при заданном частном значении аргумента обозначается

Графиком функции называется множество всех точек плоскости с координатами где

Свойства функции:

1. Четность и нечетность функции.

Функция называется четной, если:

1) – симметричное множество относительно

2) для любого выполняется равенство

Функция называется нечетной, если:

1) – симметричное множество относительно

2) для любого выполняется равенство

Если функция является четной или нечетной, то говорят, что она обладает свойством четности.

График четной функции симметричен относительно оси график нечетной – относительно начала координат.

2. Периодичность функции.

Функция с областью определения называется периодической, если существует такое число что для любого значения выполняются условия:

1)

2)

Число Т называется периодом функции.

3. Монотонность функции.

Пусть х₁, х₂ – произвольные значения из области функции такие, что

Если при данном условии выполняется:

то функция называется возрастающей;

– убывающей;

– неубывающей;

– невозрастающей.

4. Промежутки знакопостоянства функции. Нули функции.

Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т. е. или ), называются промежутками знакопостоянства.

Значения аргумента при которых функция называются нулями функции. Нули функции – это точки пересечения графика функции с осью Ох.

Пример 3.1. Найти область определения функции

Решение

(3.1)

Найдем соответствующее множество точек.

Неравенство равносильно неравенству

Решая его, получаем:

Условие означает, что т. е.

Приходим к заключению, что Получаем

Таким образом, система (3.1) равносильна системе

Следовательно,

Пример 3.2. Найти множество значений функции

Решение Найдем область определения функции

Последнее условие выполняется только для Вычисляем значение функции в этой точке: Следовательно,

Пример 3.3. Исследовать функцию на четность:

Решение Замечаем, что функция имеет Следовательно, функция определена на симметричном множестве.

Рассмотрим ее значение для –х:

Поскольку выполняются оба условия четности функции, заключаем, что функция – четная.