Тема 2. Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Содержание программы
1.1. Понятие матрицы с числовыми элементами, виды матриц. Линейные операции над матрицами.
1.2. Транспонирование и умножение матриц. Степень матрицы с натуральным показателем.
1.3. Элементарные преобразования матриц, эквивалентные матрицы. Сведение матрицы к треугольной и трапециевидной формам.
1.4. Определители 2-ги и 3-го порядков, их свойства, способы вычисления.
1.5. Понятие систем линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными.
1.6. Решение систем линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными методом Крамера.
1.7. Решение систем линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса.
Содержание темы Матрицы и операции над ними
Матрицей называется система т.п чисел, расположенных в прямоугольной таблице из т строк и п столбцов. Числа этой таблицы называются элементами матрицы. Обозначение матрицы:
;
;
.
аij
- элемент, принадлежащий i-ой
строке и j-ому
столбцу. Числа i
и j
называются индексами элемента. Матрицу,
имеющую т
строк и п
столбцов,
называют матрицей размеров т
п
(читается т
на п).
Матрицу обозначают также одной заглавной буквой:
А = .
Матрица называется квадратной, у которой число строк равно числу столбцов (т = п):
Порядком квадратной матрицы называется число её строк. Элементы а11, а22, ... , апп квадратной матрицы образуют её главную диагональ, элементы а1п, а2п-1, …, ап1 образуют побочную диагональ.
Треугольной называют матрицу, элементы которой, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.
.
Две матрицы А и В называются равными (А=В), если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое число столбцов и их соответствующие элементы равны.
Суммой (разностью) двух данных матриц одинаковой размерности является матрица той же размерности, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов данных матриц.
Чтобы умножить матрицу на число необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число.
Произведением матрицы А размерности mxn на матрицу В размерности nxp называется матрица С размерности mxp элементы которой находятся по формуле сij=ai1·b1j+ ai2·b2j+…+ ain·bnj.
Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной относительно данной.
Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:
1) умножение строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;
2) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;
3) перестановка местами двух строк (столбцов).
Определитель матрицы
Определителем 2-го порядка называется число
а11а22
– а12а21
= 
Числа а11, а22 , а12 , а21 называются элементами определителя. Элементы а11, а22 образуют главную диагональ определителя, а12 , а21 - побочную.
Определитель обозначается ∆ или det.
Определителем 3-го порядка называется число
∆ =
a11
- a12
+ a13
Определитель III порядка можно вычислять методом Саррюса:
=
а11
.
а22
.
а33
+ а12
.
а23
.
а31
+
а13
.
а21
.
а32
– а13
.
а22
.
а31
–
– а12 . а21 . а33 – а11 . а23 . а32
Свойства определителей:
1. Величина определителя не изменится при замене строк столбцами с теми же номерами.
2. Величина определителя не изменится при сложении элементов какой-либо строки (столбца) с соответствующими элементами другой строки (столбца), умноженными на одно и то же число.
3. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.
4. Определитель равен нулю, если он содержит нулевую строку(столбец).
5. Определитель равен нулю, если элементы одной строки(столбца) пропорциональны соответствующим элементам другой строки (столбца).
6. Общий множитель всех элементов какой-либо строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя.
Пример 2.1. Найти 2А-В+С, если
Решение
Пример
2.2. Найти
произведение матриц
и
.
Решение
Пример
2.3. Вычислить
определитель второго порядка
Решение
Пример
2.4. Вычислить
определитель третьего порядка
Решение
Найдем определитель по правилу Саррюса(треугольников)
