Множества и операции над ними

Множество – первичное неопределяемое понятие. Обозначают множества прописными латинскими буквами A, B, C, X, …. Под множеством понимают совокупность (группу, набор и т. д.) элементов, которые характеризуются одинаковыми свойствами.

М ножества изображают диаграммами (кругами) Эйлера-Венна

Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут a  A; если элемент а не принадлежит множеству А, то пишут a  A.

Множество может задаваться с указанием его характеристического свойства. Например, если A состоит из элементов x, для которых выполняется свойство P(x), то пишут

Если каждый элемент множества A есть элемент множества B, то множество A называется подмножеством множества B (или говорят, что A включено в B), пишут A  B (или B  A).

A  B

Два множества A, B называются равными (A = B), если они состоят из одних и тех же элементов: A = B тогда и только тогда, когда A  B и B  A. Множество, которое не имеет элементов, называется пустым и обозначается символом .

Операции над множествами: пересечение множеств; объединение множеств; разность множеств; дополнение множества A до конкретного (универсального) множества U.

Многочлены

Выражение вида

где называется многочленом n-й степени от одной переменной х, записанным в стандартном виде.

Числа называются коэффициентами дан­ного многочлена, – старшим коэффициентом, – свободным членом. Число называется корнем многочлена если

Комплексные числа

Число вида z = a + bi, где а и b - действительные числа, i - мнимая единица, определяемая равенством i ² = -1 , называется комплексным числом. Любое комплексное число z = a + bi изображается точкой плоскости М (а, b) или радиус-вектором точки М. Обратно, любой точке М (а, b) плоскости соответствует комплексное число z = a + bi . Плоскость, точки которой отождествляются с комплексными числами, называют комплексной плоскостью, где ось Ох называется действительной осью, Оу – мнимой осью.

Im

b М

0 а Re

Пример 1.3. Изобразить комплексные числа на комплексной плоскости:

z₁ = 2 + 3i, z₂ = - i, z₃ =

Pешение

Чтобы изобразить z₃ на комплексной плоскости, переведем его в алгебраическую форму:

z₃ = = 3(cos (π + ) + isin (π + )) = 3(- cos - isin ) =

= 3( )= .

Построим комплексную плоскость:

Im

3 z₁

-2 0 1 2

z₂ Re

z₃

Выражение a + bi называют алгебраической формой комплексного числа. Число а называют действительной частью, число b - мнимой частью комплексного числа: а = Re z, b = Im z.

Два комплексных числа называют равными, если равны их соответствующие действительные и мнимые части. Комплексное число равно нулю, если равны нулю его действительная и мнимая часть.

Комплексные числа, отличающиеся знаком мнимой части, называются сопряженными и обозначаются z = a + bi и ₌ a - bi.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме:

1) чтобы сложить два комплексных числа, необходимо сложить соответственно их действительные и мнимые части:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

2) при вычитании одного комплексного числа из другого необходимо вычесть отдельно их действительные и мнимые части:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i,

3) умножение двух комплексных чисел выполняем по правилам алгебры и замены i² его значением:

(a + bi)(c + di) = (aс - bd) + (bc + ad)i,

4) чтобы разделить два комплексных числа, нужно умножить числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю:

.

5) комплексное число возводят в степень по правилам алгебры, а также используя формулу бинома Ньютона, принимая во внимание, что

i²= -1

Пример 1.4 Вычислить (1 + i)⁸.

Решение

(1 + i)⁸ = ((1 + i)²)⁴ = (1 + 2i + i²)⁴ = (1 + 2i – 1)⁴ = (2i)⁴ = 16i⁴ = 16(i²)² =

=16(-1)² = 16

Ответ: 16.

Пример 1.5. Вычислить

Решение

Пример 1.6. Решите уравнение х² – 2х + 5 = 0.

Решение

х² – 2х + 5 = 0

D = - 16

x₁ = ,

x₂ = .

Ответ: x₁ = 1 + 2i, x₂ = 1 – 2i.

Пример 1.7. Решите уравнение 5х – 2у + хi + yi = 4 + 5i.

Решение

Следуя определению равенства двух комплексных чисел, выделим в левой и правой частях уравнения действительные и мнимые части и приравняем их.

(5х – 2у) + (х + у)i = 4 + 5i

Получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Решая ее методом замены, найдем значения х и у.

Ответ: х = 2, у = 3.

Пример 1.8. Разложите на комплексные множители по формуле разности квадратов число 5.

Решение

5 = 4 + 1 = 4 – (- 1) = 4 – i² = (2 – i)(2 + i).

Ответ: (2 – i)(2 + i).