Контрольные вопросы

1. Что называется дифференциальным уравнением?

2. Как определяется порядок дифференциального уравнения?

3. Что называется решением дифференциального уравнения?

4. Что называется общим решением дифференциального уравнения?

5. Что называется частным решением дифференциального уравнения?

6. Что значит решить задачу Коши?

7. Что называется дифференциальным уравнением первого прядка?

8. Что значит решить задачу Коши?

9. Что называется дифференциальным уравнением 1 порядка с

разделяющимися переменными?

10. Как решается ДУ 1 порядка с разделяющимися переменными?

11. Какое дифференциальное уравнение 1 порядка называется однородным?

12. Как решается однородное ДУ 1 порядка?

13. Что называется дифференциальным уравнением второго прядка?

14. Какое дифференциальное уравнение называется неполным?

15. Как решается неполное ДУ II порядка?

16. Как решаются линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами

Практическое занятие №5 (1ч) Решение дифференциальных уравнений первого порядка

1. Определить порядок дифференциального уравнения

2. Определить является ли функция решением дифференциального уравнения ?

3. Найти общее решение дифференциального уравнения .

4. Найти общее и частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными при .

5. Найти общее и частное решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при и .

Тема 8. Комбинаторика, теория графов, теория вероятностей. Содержание программы

8.1. Элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.

8.2. Понятие графа, простейшие свойства. Способы задания графов. Использование графов для решения задач.

8.3. Основные понятия теории вероятностей. Действия над событиями.

8.4. Классическая и геометрическая вероятность, их своиства.

8.5. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события. Условная вероятность.

Содержание темы Графы, их способы задания

Граф – множество точек (вершин графа), часть из которых соединена линиями (ребрами или дугами графа).

Ребро, соединяющее вершину с ней же, называется петлей.

Если вершины соединяются направленными линиями (дугами графа), то граф называют ориентированным (орграфом).

Вершины графа, связанные ребром, называются смежными. В таком случае говорят, что их общее ребро инцидентно обеим вершинам.

Если граф ориентированный, то одна из вершин дуги является начальной, а вторая – конечной.

Степенью вершины называется количество ребер, ей инцидентных. В орграфе число дуг, входящих в вершину и выходящих из нее, называется соответственно полустепенью входа и полустепенью выхода вершины.

Простейшие свойства степеней вершин графа:

1. Сумма степеней вершин графа равна удвоенному числу его ребер.

2. Число вершин нечетной степени четно.

Вершина, не инцидентная никакому ребру, называется изолированной.

Граф, состоящий только из изолированных вершин, называется пустым или нуль-графом.

Граф называется полным, если любые две его вершины являются смежными.

Подграф заданного графа – это граф, множества вершин и ребер которого являются подмножествами соответственно множеств вершин и ребер исходного графа.

Маршрут (путь) – чередующаяся последовательность вершин и ребер, в которой каждые два соседних элемента инцидентны.

Количество ребер при этом называется длиной маршрута.

Цепь – маршрут, в котором все ребра различны.

Простая цепь – цепь, в которой все вершины различны.

Цикл (простой цикл) – замкнутая (простая) цепь.

Граф называется связным, если для любых двух его вершин найдется соединяющий их маршрут. Если хотя бы для одной пары вершин это свойство не выполняется, то граф называется несвязным.

Цикл, проходящий через все ребра графа ровно один раз, называется эйлеровым, а граф, его содержащий, - эйлеровым графом. Связный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда все его вершины четной степени.

Цикл, проходящий через все вершины графа ровно один раз, называется гамильтоновым, а граф, его содержащий, - гамильтоновым графом.

Дерево – связный неориентированный граф без циклов.

Корневое дерево – дерево, в котором выделена одна из вершин (корень).

Способы задания графа:

1. Графический: вершины графа изображаются точками, а ребра и дуги – линиями, их соединяющими (в дугах указывается направление с помощью стрелки).

2. Аналитический: представляется описание множеств и , так как граф может быть определен как совокупность двух множеств: , элементы которого называются вершинами, и - произвольное множество пар , элементы которого называются дугами.

3. Матричный: используются матрицы графов.

Матрица смежности неориентированного графа - квадратная матрица порядка , где - количество вершин. Ее элементы равны числу ребер, соединяющих вершины и .

Пример 8.1. В поселке 6 стационарных телефонов. Можно ли каждый из них соединить кабелем ровно с тремя другими? Изменится ли ответ, если добавить еще один телефон?

Решение: Построим граф, вершины которого будут соответствовать телефонам, а ребра – проводам, их соединяющим. По условию задачи каждый телефон должен быть соединен ровно с тремя другими. Соединим каждую вершину графа ровно с тремя другими, например, так, как показано на рис. 1.

Если телефонов станет 7, то, согласно второму свойству степеней вершин графа, требуемую схему реализовать невозможно. Действительно, степень каждой вершины по условию должна быть равна трем (каждый телефон соединен ровно с тремя другими, т.е. каждая вершина графа инцидентна трем ребрам). Получается, что в графе количество вершин нечетной степени нечетно, а этого не может быть. Значит, при добавлении одного аппарата соединение не может быть реализовано.

Рис. 1